【考研数学】设y=f(x)是方程y''-2y'+4y=0的一个解，若f(x0)>0且f'(x0)=0，则f(x)在点x0处（

Question

如题，A. 取极大值 B. 取极小值 C. 某个邻域内单调递增 D. 某个邻域内单调递减

我知道y''<0, 有极大值，但是为什么C、D是错的呢？
补充一下我知道A是对的，只是问为何CD是错的

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

很简单，因为在x0处取得极大值，必然f(x)在x0的一个左邻域内单调增，在x0的一个右邻域内单调增减。所以简单通俗地说，f(x)在点x0某个邻域内，左边增右边减，当然就不可能在x0处的某个邻域内，只增或只减。
其实CD就是说“没有极大值也没有极小值”。
我估计你把“f(x)在点x0处的某个邻域”想成“f(x)在某个区间”。

Answer 3

选A，因为y=f(x)满足原微风方程式，则x在x0处也满足，即y''(x0)-2y'(x0)+4y(x0)=0,又因为f(x0)>0且f'(x0)=0，所以y''(x0)=2y'(x0)-4y(x0)=0-4y(x0)<0,所以f'(x0)=0，y''(x0)<0,为极大值。
做题时不要盲目的去求解微分方程，从问题出发思考，见题中有函数的一阶，二阶导数，想到极值的第二充分条件，便能解出此题。