ln(x+1)/x=[f(x)-f(0)]/[g(x)-g(0)]=f'(s)/g'(s)=1/(1+s),0<s<x
因为1/(1+x)<1/(1+s)<1
故1/(1+x)<ln(x+1)/x<1
即x/(1+x)<ln(1+x)<x, x>0
证毕！
证明当x>0时,不等式 x\/(1+x)<ln(1+x)<x成立
ln(1+x)=f'(ξ)·x 由于0＜ξ＜x 所以1\/(1+x)＜f'(ξ)＜1\/x
如何用中值定理证明x\/(1+x)<ln(1+x)<x,x>0?
不等式两边同除以x，因为x大于0，不等号方向不变；即 1\/(1+x)<ln(1+x)\/x<1;又ln1=0;观察中间发现，这个刚好是拉格朗日中值定理的形式 即存在c∈(1,1+x),使得 ln(1+x)\/x=【ln(1+x)-ln1】\/x=1\/c;因为c∈(1,1+x)；所以1\/(1+x)<1\/c<1得证。
诚心请问:如何用中值定理证明这个不等式:当x>0时,x\/(1+x)
ln(x+1)\/x=[f(x)-f(0)]\/[g(x)-g(0)]=f'(s)\/g'(s)=1\/(1+s),0
证明下列不等式:设x>0,证明:1n(1+x)<x.
【答案】：方法一利用中值定理的证明．设f(x)=ln(1+x)，对f(x)在[0，x]上应用拉格朗日中值定理得 由于x＞o，所以，从而ln(1+x)＜x．方法二用单调性证明，设f(x)=ln(1+x)-x，则 ∴f(x)在(0，x)内单调减少，又f(0)=ln(1+0)-0=0，故f(x)＜0，即ln(1+x)＜x．
证明不等式x\/(1+x)<In(1+x)<x,x>0
ln(1+x)\/x=(1+x)\/e^x=(1+x)\/(1+x+x^2\/2+x^3\/6+...)<1 则ln(1+x)<x, 在x=0时x\/(1+x)=ln(1+x)=0; 当x>0时 ，[1\/(1+x)]'\/[ln(1+x)]'=1\/[(1+x)^2]\/[1\/(1+x)]=1\/(1+x)<1 则在x>0时，x\/(1+x)的增速小于ln(1+x)，在x=0相等 ...
证明不等式x\/(1+x)<ln(1+x)<x.(x>0)
1，1+x】,显然f(x)在【1，1+x】上连续，在（1，1+x）上可导。中间点可选θx,(0<θ<1).由拉格朗日中值定理得：f(1+x)-f(1)=f '(θx)(1+x-1)即：ln(1+x)=x\/(1+θx)又：x\/(1+x)＜x\/(1+θx)<x 即得证：x\/(1+x)<ln(1+x)<x 参考资料：高等数学。。。
用中值定理证明下列不等式。
1+t)，(t>=0)显然，对∀x>0，f(t)在[0,x]内连续，在(0,x)上可导，则根据拉格朗日中值定理，存在k∈(0,x)，使 f'(k)=[f(x)-f(0)]\/(x-0)1\/(1+k)=ln(1+x)\/x ln(1+x)=x\/(1+k)因为x\/(1+x)<x\/(1+k)<x\/(1+0)=x 所以x\/(1+x)<ln(1+x)<x ...
已知X>0.证明不等式X>LN(1+X)
在区间[0，x]内，函数f（x）=ln（1+X)满足拉朗格日中值定理，所以间[0，x]内，必定有一点x0，使得f‘（x0）（x-0）=f(x) - f(0),又因为 f(0)=0 f '(x0)=1\/(1+x0) 所以f‘（x0）（x-0）=f(x) = 1\/(1+x0) ·x 又因为x0>0ln（1+X) = f(x) =...
已知X>0.证明不等式X>LN(1+X)
在区间[0，x]内，函数f（x）=ln（1+X)满足拉朗格日中值定理，所以间[0，x]内，必定有一点x0，使得f‘（x0）（x-0）=f(x) - f(0),又因为 f(0)=0 f '(x0)=1\/(1+x0) 所以f‘（x0）（x-0）=f(x) = 1\/(1+x0) ·x 又因为x0>0ln（1+X) = f(x) =...
一道简单微积分题,请指教 设x>-1 证明不等式 x\/(1+x)≤ln(1+x)≤x...
设f(x)=ln(1+x),f'(x)=1\/(1+x)由Langrange中值定理,f(x)在[0,x]上连续 f(x)-f(0)=xf'(t)=x\/(1+t),注意到0
