高三数学题关于x的方程x^2+x^-2+a(x+x^-1)+b=0有实根，a^2+b^2的最小值是？

Question

高三数学题关于x的方程x^2+x^-2+a(x+x^-1)+b=0有实根，则a^2+b^2的最小值是？

Answer 1

令t=x+1/x易知t^2-2=x^2+x^-2且t属于(-∞,-2]U[2,+∞)
则方程化为t^2+at+b-2=0
f(t)=t^2+at+b-2,图形结合
f(t)=0在(-∞,-2]U[2,+∞)有解
f(-2)<=0或f(2)<=0
即b+2-2a<=0或b+2+2a<=0,
用线性规划答案4/5

Answer 2

解：原方程可化为：(x+1/x)²+a(x+1/x)+b-2=0
令u=x+1/x，则有u²+au+b-2=0
因为有实根，故其判别式△=a²-4(b-2)≧0,即有a²≧4b-8≧0，故b≧2，
于是a²+b²≧b²+4b-8≧4+8-8=4
即a²+b²的最小值是4。

Answer 3

x^2+x^-2+a(x+x^-1)+b=0
(x+1/x)^2+a(x+1/x)+(b-2)=0
a^2-4(b-2)>=0
a^2>=4b-8
a^2+b^2>=b^2+4b-8=(b+2)^2-12
b=-2时最小，a^2+b^2=4

Answer 4

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