把1.2.3.4.5.6.7.8.9.10这十个数字任意顺序排成一圈，在这一圈中一定有相邻的三个数之和不小于17，，请求

Answer 1

除去数字1，把余下的9个数分成三组，要求3个数一组，且同一组的三个数是相邻的三个数。若这三组数值和都小于17，则所有数字之和小于等于16*3+1=49，而我们知道所有数字之和为10*11/2=55，出现矛盾，原问题也就解决了。事实上一定有三个相邻的数之和不小于18，方法类似。

Answer 2

我们称相邻的三个数为一个数组，十个数围成一圈共有十个数组。如果把所有的数组的数都加起来，相当于每个数算了三次，其和为55*3=165，十个数组分，抽屉原理，至少有一个数组的数之和不小于17。证毕。

Answer 3

反证，假设全部相邻三个数之和均小于等于16，则从任意位置开始逆时针旋转将这样的三个数之和全部相加，一共应该有10组数相加，且总和小于等于160，由于这10组数之和应该为1-10十个数字之和的3倍，即165，矛盾，所以假设错误

Answer 4

1+6+10=17 1+7+9=17 2+5+10=17 2+6+9=17 2+7+8=17 3+4+10=17 3+5+9=17
3+6+8=17 ......2+3乘10 =32 32除以10商3余2 3加1等于4 4大于1 所以根据抽屉原理
在这一圈中一定有相邻的三个数之和不小于17

Answer 5

除去数字1，把余下的9个数分成三组，要求3个数一组，且同一组的三个数是相邻的三个数。若这三组数值和都小于17，则所有数字之和小于等于16*3+1=49，而我们知道所有数字之和为10*11/2=55，出现矛盾，原问题也就解决了。事实上一定有三个相邻的数之和不小于18，方法类似。