三角形知三顶点坐标怎么求重心.垂心.外心坐标

Question

并证明三点同线

Answer 1

重心是三点坐标相加再除3

垂心可以先求经过两点的直线,再求直线的垂线,再把第三点带入,就可以了

外心 设外心坐标,因为是外心,所以外心到三顶点距离相等.列等式,就可以

Answer 2

这道题要用定比分点法
令A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)
BC中点是(x2+x3/2,y2+y3/2),由平面几何性质得AG=2GB
Xg=[x1+2(x2+x3)/2]/3=(x1+x2+x3)/3,
Yg=[y1+2(y2+y3)/2]/3=(y1+y2+y3)/3
定比分点：若AG=λGB[向量] Xg=(xa+λxb)/1+λ Yg=(ya+λyb)/1+λ

在三角形内心坐标中也要用到定比分点，当然内心坐标比较麻烦，但我也给你求一下。
设A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，AB=c,BC=a,AC=b,内心为I，AI交BC于D，BI交AC于E，CI交AB与F
由平面几何性质得BD/DC=c/b，AF/FB=b/a,AE/EC=c/a
由梅捏劳斯定理得到AF/FB*BC/CD*DI/IA=1
b/a*(b+c)/b*DI/IA=1 DI/IA=a/(b+c) DI=IA*a/(b+c)
BD=c/b*DC D ((x2+c/b*x3)/(1+c/b),(y2+c/b*y3)/(1+c/b))
(bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c)
I Xi=[(bx2+cx3)/(b+c)+a/(b+c)*x1]/[1+a/(b+c)] Yi=[(cy2+by3)/(b+c)+a/(b+c)*y1]/[1+a/(b+c)]
I((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c))
这个坐标公式没有实际意义，因为a,b,c还要用距离公式代入，但训练定比分点是有用的。

垂心：
A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，垂心H(x0,y0)
用斜率是负倒数关系Kbc=y3-y2/x3-x2 Kah=y1-y0/x1-x0 Kah=-1/Kbc
得到方程(y3-y2)/(x3-x2)=-(x1-x0)/(y1-y0)
同理可得方程(y2-y1)/(x2-x1)=-(x3-x0)/(y3-y0)
解出x0,y0即可，很麻烦，如果遇到题目，还是代数据比较好，因为公式麻烦也是一种负担

外心，也很麻烦
(x0-x1)^2+(y0-y1)^2=(x0-x2)^2+(y0-y2)^2=(x0-x3)^2+(y0-y3)^2
解方程即可

Answer 3

根据定义！解析几何的问题，解出两点确定的直线，带入确定通过第三点就行了！