(x-1)(x+1)=x^2-1,(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1..........

Question

(x-1)(x+1)=x^2-1,(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1........
已知x^4+x^3+x^2+x+1=0,求x^2010

Answer 1

最后结果=1
因为x^2010=(x-1)(x^2009+x^2008+x^2007+x^2006+x^2005+……x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)+1
由于(x^2009+x^2008+x^2007+x^2006+x^2005+……+x+1)括号内个数正好是5的倍数，从1开始依次以5个为一组，皆可以提取公因式x^4+x^3+x^2+x+1，
即x^2010=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^2005+x^2000+x^1995+x^1990+……+x^5)+1

所以x^2010=0+1

追问

没学提取公因式呢,这样咋样?因为(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) = x^5 - 1 = 0
所以x^5 = 1
故x^2010 = x^(5×402) = (x^5)^402 = 1^402 = 1

Answer 2

(x-1)(x+1)=x^2-1
(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1
(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1
...
(x-1){x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+...+x^3+x^2+x+1} = x^(n+1)-1

Answer 3

这是什么题？