数列｛an｝的前n项和sn=2n^2+3n,数列｛tn｝的前n项和tn=3-bn求数列｛an｝和数列｛bn｝的通项公式

Question

1、数列｛an｝的前n项和sn=2n^2+3n,数列｛tn｝的前n项和tn=3-bn求数列｛an｝和数列｛bn｝的通项公式
2、在数列{an}中,a1=1,a(n+1)乘(an+1)=an，求an
3、在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=2(1+1/n)^2an，求an

Answer 1

解：
1、
a1=S1=2+3=5
Sn=2n²+3n
Sn-1=2(n-1)²+3(n-1)
an=Sn-Sn-1=2n²+3n-2(n-1)²-3(n-1)=4n+1
n=1时，a1=4+1=5，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=4n+1
Tn=3-bn
b1=T1=3-b1 2b1=3
b1=3/2
Tn-1=3-b(n-1)
bn=Tn-Tn-1=3-bn-3+b(n-1)
2bn=b(n-1)
bn/b(n-1)=1/2
数列{bn}是以3/2为首项，1/2为公比的等比数列。
bn=(3/2)(1/2)^(n-1)=3/2^n
数列{bn}的通项公式为bn=3/2^n
2、
a(n+1)(an+1)=an
a(n+1)an+a(n+1)=an
等式两边同除以a(n+1)an
1+1/an=1/a(n+1)
1/a(n+1)-1/an=1，为定值。
1/a1=1/1=1
数列{1/an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
1/an=1/a1+(n-1)=1+n-1=n
an=1/n
数列{an}的通项公式为an=1/n
3、
a(n+1)=2(1+1/n)²an=2(n+1)²an/n²
[a(n+1)/(n+1)²]/(an/n²)=2，为定值。
a1/1²=2/1=2
数列{an/n²}是以2为首项，2为公比的等比数列。
an/n²=2×2^(n-1)=2^n
an=n²×2^n
数列{an}的通项公式为an=n²×2^n

Answer 2

a(1)=s(1)=2+3=5
a(n+1)=s(n+1)-s(n)=2(2n+1)+3=4n+5=4(n+1)+1,
a(n)=4n+1,
b(1)=t(1)=3-b(1),b(1)=3/2.
b(n+1)=t(n+1)-t(n)=b(n)-b(n+1),
b(n+1)=(1/2)b(n),
{b(n)}是首项为(3/2),公比为(1/2)的等比数列.
b(n)=(3/2)*(1/2)^(n-1)=3/2^n

a(1)=1
a(n+1)[a(n)+1]=a(n)=a(n+1)a(n)+a(n+1),
若a(n+1)=0,则a(n)=0, ..., a(1)=0与a(1)=1矛盾.
因此,a(n)不等于0.
a(n)=a(n+1)a(n)+a(n+1),
1/a(n+1)=1+1/a(n),
{1/a(n)}是首项为1/a(1)=1,公差为1的等差数列.
1/a(n)=1+(n-1)=n,
a(n)=1/n.

a(1)=2,
a(n+1)=2(n+1)^2a(n)/n^2,
a(n+1)/(n+1)^2=2a(n)/n^2,
a(n+1)/[2^(n+1)(n+1)^2] = a(n)/[2^nn^2] = ... = a(1)/[2*1]= 1,
a(n)=2^n*n^2