0.9循环下去等于1么?

Question

我的立场是觉得0.9循环下去等于1

首先我承认0.9的循环是一个实数
其次我承认0.9的循环不大于1，即0.9的循环（以后都用A表示）小于或等于1
现在我想证明A小于1不成立

在这里想用一个类比
f（x）=x乘x，其中x属于实数
然后对于任意的k属于实数,必有f(k)大于f(0)
请给出一个没有用类似于“不存在或者你找不到一个数m属于实数，从而不符合我之前的证明过程”的理由来证明这个命题的证法（我觉得如果我不断地追问地话这个问题的证明最后会建立在类似引号里面陈述的理由的基础上，有点像公理那种不需要证明的味道，只是像）

如果不能找出，现在我想说不存在或者你找不到一个数p，使A小于p小于1
我现在的命题变成：对于A小于1,若不存在p，使A小于p小于1，则A=1
逆否命题为：对于A小于1，若A不=1，则存在p，使A小于p小于1。
我证明逆否命题的理由就是不存在或者你找不到一个例子证明这个逆否命题是错误的

如果是，那么我就证明了A不小与1，又因为A小于或等于1的，所以A=1

我在网上搜索的时候碰到的证明有几个常用套路，但是我觉得那样证明是不对的。

我只是一名学生，看问题的视角可能有限，希望有研究的朋友给予令人满意的答复。
不过我觉得比较好的解法是A=3*（1/3）的这种，至少现在我没有什么能提出质疑的地方，同时我比较希望得到的解法就是存在一种新的数的表达方式（因为我感觉0.9之所以不断循环下去是因为数的表达受到了限制），在这种合理的表示方式中1和A的表达是相等或者等效的，我看了一下那个关于“0循环和9循环”的说法，虽然不太敢承认（毕竟以前没接触过）但是希望能告诉我是什么书或者哪里有的知识，我会去学的，谢谢
对于
令10A-A=9A=9的这种证明我存在的疑问就是：为什么你写得出来A乘以10以后是一个个位数是9的小数部分仍然是9的循环的数

Answer 1

这个问题其实数学分析有提过的，鉴于楼主学历，我简要陈述一下
1、0.999…………的循环确实等于1，绝对不是小于1
2、任给一个小数，都对应一个实数，反之也成立。小数0.999……的实数表示就是1。
3、任何数有两种表示方法，即9循环法和0循环法，如
0.9999……=1.0000……=1，不过人们喜欢把后面的零省略不写而已
再如2.4899999999……循环=2.4900000这和上面本质是一个问题
4、初等证法
①自身代换法设x=0.999……,则10x=9+0.9999……=9+x,解方程有x=1
②无穷级数法,设数列0.9,0.99,0.999,……
则其无穷项和就是0.99999……,由于它是公比为1/10的等比数列
所以极限limSn=0.9(1-1/10^n)/(1-1/10)=1,n为无穷大
③奇怪的是，大多数人都承认1/3=0.3333…………,那么两边都乘以3得
1=0.99999……
或者1/9=0.1111……，那么1=0.111……×9=0.99999……
好了，就说这么多了。这个问题其实很多人问过。楼主上大学学习了数学分析就明白了。

呵呵！加油啊！

Answer 2

相等。证明如下：

0.9999……=0.3333……*3=（1/3）*3=1
1/3=0.3333……很容易理解吧，1除以3为0.3不停的商3所以结果为0.3333……（当然也可以用1/9*9=1来证明，一个意思）

至于楼主的思路，用找不到来证明不存在，有一定的问题。首先在逻辑上讲不通，找不到可能是方法不对，也可能是条件和能力有限，可能的情况很多，不能说明它不存在。数学上好多规律、定理的发现甚至是一些数字（比如圆周率和e）的精度都是经过一系列长期复杂的过程才得到的。除非你认为你可以用所有相关的方法来一一否定。
但楼主的方法在很多地方也可以用到。只是需要用反证法来辅助。比如上述问题可以先用楼主的观点“找不到一个这样的数”的反面作为假设，即假设可以找到一个这样的数p，使得A小于p小于1，则可以得到
p>A 即p>0.9999……=0.3333……*3=1/3*3 得到p>1,同时又有p<1得出矛盾，由于推理过程没问题，则得出矛盾结论的根源在于错误的假设，即“存在这样一个数p”错误，则“不存在这样一个数p”得证。

Answer 3

Answer 4

很高兴为您服务。
事实上，0.999…… = 1.
我上小学时，也无法理解0.999…… = 1.这件事等我证明完上式再谈.
证:
设 x=0.999……, 则 10x=9.999……,
所以 10x-x=9,
x=1.
证毕.
我曾怀疑这个证明有破绽.因为: 0.99*10=9.9,
0.999*10=9.99,
0.9999*10=9.999,
……
这样, 9.999…… - 0.999……, 小数点后每一位不是不会对应相减么?
不,会对应.注意,有限和无限是不同的.事实上,对于 9.999…… 后面的每一个9, 都能在 0.999…… 后找到一个对应的9(在小数点后位数相同处);反之亦然.因此,这些9可以被认为是一一对应的,这个减法是可行的.
那么,还有一个问题.譬如对于3和2.8两个数,老师和课本教我们这样比较大小:这是两个正数,最高位都是个位,3的个位数字比2.8的个位数字大,因此3>2.8.而此处,1的个位数字明明比 0.999…… 的个位数字大,怎么与它相等?
要知道原因,就得从问题的实质出发.3与2.8为什么能这样比较?我们列竖式,不妨一改常规,从高位算起,3-2,再借位给后面0-8,差的个位是0,而十分位就不是0了.但是用1去减 0.999…… 呢?就不一样了.个位1-0,借位给十分位,差的个位是0,十分位上10-9,借位后差的十分位又是0……而要什么时候才能等到差值的某一位是1呢?必须等到减数的某一位是9,而后面不再有数字.否则,差的小数点后将永远是0.不幸的是,0.999……恰恰每一个数字9都不是终结,所以差的小数点后每一位都是0.换言之,在0.9后面永远把9写下去,能填补它与1之间的任何空缺.或者说,1-0.999……比任何一个正数都小,而又不是负数.以上这些使我们置信:1-0.999…… = 0. 因此,1=0.999…….
至于楼上多位所说 0.999…… 是趋近于1而不等于1,说明他们对极限概念的不清晰.如果"0."后面的9逐渐增加着,9的个数趋近于无穷大,那么 0.999…… 是趋近于1的,没错. 但是,这个读作"0.9,9的循环"的数,它的9的个数,根据循环小数的定义,是等于无穷大而非趋近于无穷大的.因此,0.999……等于1,不是趋近于1.
故我们有结论:0.999…… = 1.

Answer 5

是等于1的，实数的连续性用不着，只要有理数的连续性就可以了，这些你可以在初中的书上找到。任意两个不同的有理数之间必然有另外一个有理数。

0.999999……是有理数，1也是有理数，如果不相等 那么必然存在一个有理数X它比1小 所以个位是0，同时它比0.9999……大 所以它的小数位每位都是9。也就是说X=0.99999…… 这与X〉0.99……是矛盾的 所以0.9999……与1是同一个数的两种表现形式。

就像你不能因为“2-1”跟“1”长得不一样就说2-1不等于1