抽象函数单调性及其应用

Question

已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时，有[f(m)+f(n)]/(m+n)>0.若f(x)≤t^2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围。

Answer 1

不妨设m,n∈[-1,1]且m>n,则-n∈[-1,1],m-n≠0，由奇偶性f(-n)=-f(n)
[f(m)+f(-n)]/[m+(-n)]=[f(m)-f(n)]/(m-n)>0,故f(m)>f(n)
所以f(x)是在[-1,1]上的增函数
当x∈[-1,1]时f(x)max=f(1)=1
不等式f(x)≤t^2-2at+1等价于-2t*a+t^2≥0对于a∈[-1,1]恒成立
因为g(a)=-2t*a+t^2是关于a的一次函数，为一条线段，所以只要两端点满足g(-1)≥0和g(1)≥0即可
由t^2+2t≥0
t^2-2t≥0
解得t≤-2或t≥2