设<G,*>是群,对任意a属于G,令H={y|y*a=a,y属于G},证明<H,*>是<G,*>的子群

Question

设<G,*>是群,对任意a属于G,令H={y|y*a=a,y属于G},证明<H,*>是<G,*>的子群

希望高手能能讲解一下证明过程~~
改成H={y|y*a=a*y,y属于G}

Answer 1

题写错了,应该是H={y|y*a=a*y,y属于G},否则由y*a=a得y=e,故H={e},此时<H,*>是<G,*>的平凡子群,这题就太简单了.
原题改为H={y|y*a=ay,y属于G},
证明 由e*a=a*e可知e属于H,H非空,设x,y属于H,则x*a=a*x,y*a=a*y,故
y^-1*a=a*y^-1,于是得
(x*y^-1)*a=x*(y^-1*a)=x*(a*y^-1)=(x*a)*y^-1=a*(x*y^-1)
x*y^-1属于H,由子群判定定理可知<H,*>是<G,*>的子群.

Answer 2

题写错了,应该是H={y|y*a=a*y,y属于G}
证明：不妨设y1,y2∈H，则有y1*a=a*y1,y2*a=a*y2
所以y1^-1*a=a*y1^-1,即y1^-1∈H
又(y1*y2)*a=y1*(y2*a)=y1*(a*y2)=(y1*a)*y2=(a*y1)*y2=a*(y1*y2)，因此y1*y2∈H
根据子群判定定理H是G的子群。

判定定理：设集合H是集合G的非空子集
（1）任给a∈H，b∈H，有a^-1∈H，ab∈H，则H是G的子群
（2）任给a∈H，b∈H，有ab^-1∈H，则H是G的子群
条件（1)和(2)是等价的。

Answer 3

写错了,应该是H={y|y*a=a*y,y属于G},否则由y*a=a得y=e,故H={e},此时<H,*>是<G,*>的平凡子群,这题就太简单了.

Answer 4

证明：不妨设y1,y2∈H，则有y1*a=a*y1,y2*a=a*y2
所以y1^-1*a=a*y1^-1,即y1^-1∈H
又(y1*y2)*a=y1*(y2*a)=y1*(a*y2)=(y1*a)*y2=(a*y1)*y2=a*(y1*y2)，因此y1*y2∈H
根据子群判定定理H是G的子群。