高数 常微分方程？

Question

49题卡在求解微分方程上了 请问像49和53这种题应该是什么思路？

Answer 1

解答过程如下：

第1题：假设运动速度为v（t），那么根据题意得到阻力为-v，再根据牛顿第二定律得到mdv/dt＝-v，又因为m＝1，则解dv/dt＝-v，将其变形为dv/v＝-dt，两边求积分得到lnv＝-t+C，代入初值，得到C等于lnv0，从而得到v（t）＝v0×e^（-t），得到该式之后代入问题的数值，即可得解。

第二题：假设半球形雪堆的面积和侧面积。根据题意列出关系式，得到dr/dt＝-k，将其变形为dr＝-kdt，两边同时求积分，得到r等于-kt+C，代入初值解的r＝r0-kt，再根据题意列出融化3小时后的体积关系，从而求出k＝1/6×r0，得到该式r＝r0-1/6×r0t，当雪全部融化，即r等于0，代入得t等于6。故得解。

Answer 2

v=v0十at，只适用于加速度为定值的匀加速度运动，对于变加速度不成立。变加速度运动v=v0十∫(0,t)a(t)dt。
用数轴表示初始位置为原点，t时刻位置为x，速度v(t)=dx/dt，加速度a(t)=dv/dt=d²x/dt²
阻力f=-kv，负号表示f与v方向相反。
f=-kv=ma(t)=mdv/dt
dv/v=(-k/m)dt
lnv=(-kt/m)十C
C为常数。
下面的exp()表示底为e的指数函数。
v=exp(C)exp(-kt/m)
v=D.exp(-kt/m)
D=exp(C)，是常数。
t=0,v=D=V0
所以，v=v0exp(-kt/m)
dx=v0exp(-kt/m)dt
x=(-mv0/k)exp(-kt/m)十E
E是常数。
t=0,x=0=-mv0/k十E
E=mv0/k
所以，x(t)=(-mv0/kt)exp(-kt/m)十mv0/k
x(t)=(mv0/k)[1-exp(-kt/m)]

追答

53题，设时刻t的体积为V(t)，半径为r(t)，融化速度用dV(t)/dt表示。V(t)=(2π/3)r(t)＾3

融化速度=dV(t)/dt=2πr²(t)dr(t)/dt

表面积=3πr²(t)

2πr²(t)dr(t)/dt=k×3πr²(t)
dr(t)=(3k/2)dt
r(t)=3kt/2十C

t=0,r(t)=C=r0
所以，r(t)=3kt/2十r0

t=3,V(3)=V(0)/8
(2π/3)r(3)＾3=(π/12)r0＾3
r(3)＾3=r0＾3/8
r(3)=r0/2
3k×3/2十r0=r0/2
9k/2=-r0/2
k=-r0/9
所以
r(t)=3(-r0/9)t/2十r0
=（-r0/6）t十r0

融化完，r(t)=0
-r0t/6十r0=0
t=6

上面的解法中，k〈0,与题意不符，V(t)是减小的，dV(t)/dt〈0,题目中的融化速度应该是正值，可以看成是-dV(t)/dt，-dV(t)/dt=kS(t)，就能得到k〉0的结果。最后答案是一样的。

Answer 3

解:雪堆的体积V=4πr³/3，雪堆的表面积
S=4πr²×0.5+πr²(r为半径)
雪堆的融化速度U=-dV/dt，且根据题意
有U=kS
得:d(4πr³/3)/dt=-3kπr²，
4r²dr/dt=-3kr²， dr/dt=-0.75k，
r=-0.75kt+c(c为任意常数)
∵当t=0时，r=r(0) ∴c=r(0)
∵当t=3时，V=4πr³(0)/3×1/8
∴此时r=0.5r(0) ∴有
0.5r(0)=-0.75k×3+r(0)，k=2r(0)/9
∴有r=r(0)-r(0)t/6 ∴当r=0时，t=6
∴雪堆融化需要6小时
解:阻力f=ma，a=-dv/dt，f=v
∵运动物体为单位质点 ∴m=1
∴dv/dt=-v，v=ce^(-t)∵当t=0时，v=v(0)
∴有c=v(0) ∴有v=v(0)e^(-t)
∴当v=v(0)/3时，t=ln3
∴路程S=∫vdt|(0，ln3)=
-v(0)e^(-t)|(0，ln3)=2v(0)/3