求数列{(2n-1)/2^n}的前n项和

Question

如题

Answer 1

{(2n-1)/2^n}= 2n/2^n - 1/2^n

对于后一部分 1/2^n , 其前n项和为等比数列求和
S2 = 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + …… 1/2^n
= (1/2) * [1 - (1/2)^n]/(1 - 1/2)
= 1 - 1/2^n

对于前一部分 2n/2^n
S1 = 2*(1/2 + 2/2^2 + 3/2^3 + …… + n/2^n)
两端乘2
2S1 = 2 * [1 + 2/2 + 3/2^2 + …… + n/2^(n-1)]
两式相减, 将分母方次相同的项凑在一起
2S1 - S1 = S1
= 2*{ 1 + （2/2 - 1/2）+ (3/2^2 - 2/2^2) + …… + [n/2^(n-1) - (n-1)/2^(n-1 ) - n/2^n }
= 2 * [1 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^(n-1) - n/2^n]
= 2 * { 1 * [1 - (1/2)^n]/(1 -1/2) - n/2^n}
= 2 * [2 - 1/2^(n-1) - n/2^n]
= 4 - 4/2^n - 2n/2^n

S = S1 - S2
= 4 - 4/2^n - 2n/2^n - 1 + 1/2^n
= 3 - (3 + 2n)/2^n

个人认为， 一楼的做法 需要死记硬背一些公式。 而我的做法都是从非常非常基本的公式出发

Answer 2

用错项相减法！就是3楼的解法，写得很清楚了。

下面的图是我在一个人的论文上搜索到的，正好有这题，就截图下来了，不过好像不是错项相减法。

Answer 3

an=(2n-1)/2^n
a1=1/2
a2=3/2^2
a3=5/2^3
..
an=(2n-1)/2^n
Sn=a1+a2+..+an=1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n
Sn/2=1/2^2+3/2^3+.........+(2n-3)/2^n+(2n-1)/2^(n+1)
相减：
Sn/2=1/2+2/2^2+2/2^3+......+2/2^n-(2n-1)/2^(n+1)
=1/2+1/2+1/2^2+....+1/2^(n-1)-(2n-1)/2^(n+1)
=1/2+1/2*[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2) -(2n-1)/2^(n+1)
=1/2+1-1/2^(n-1)-(2n-1)/2^(n+1)
Sn=3-4/2^n-(2n-1)/2^n
=3-(2n+3)/2^n