多个正态分布随机变量的线性组合公式

Question

网上给的教材说的都是是两个变量的线性组合公式
可是我目前有11个变量
请问多变量的公式是怎么变化的？
总期望倒是很好想，把11个变量的期望加起来即可，但是方差会怎么变化呢？不会是把11个变量的方差加起来就是总方差吧？

Answer 1

结果和随机变量的独立性有关，下面给出一般性结论，先做一些符号说明：
设随机变量Xi与Xj的期望分别为E(Xi)=μi，E(Xj)=μj，1≤i,j≤n
协方差为E[(Xi-EXi)*(Xj-EXj)]= E[(Xi-μi)*(Xj-μj)]=σij
显然，σij=σji，且当i=j时，D(Xi)=σii

令Y=∑{i=1,n}(ci*Xi)=c1*X1+c2*X2+...+ cn*Xn，则
D(Y)=E{∑{i=1,n}(ci*Xi)-E[∑{i=1,n}(ci*Xi)]}²
=E[∑{i=1,n}(ci*Xi)-∑{i=1,n}E (ci*Xi)]²
=E[∑{i=1,n}(ci*Xi)-∑{i=1,n}(ci*μi)]²
=E[∑{i=1,n}ci*(Xi-μi)]²
=E{∑{i=1,n}ci²*(Xi-μi)²+∑{i≠j}[ci*cj*(Xi-μi)*(Xj-μj)]}
=E{∑{i=1,n}ci²*(Xi-μi)²+2*∑{1≤i<j≤n}[ci*cj* (Xi-μi)*(Xj-μj)]}
=∑{i=1,n}ci²E(Xi-μi)²+2*∑{1≤i<j≤n}ci*cj*E[(Xi-μi)*(Xj-μj)]
=∑{i=1,n}ci²*σii+2*∑{1≤i<j≤n}ci*cj*σij ①

[σ11 σ12 ... σ1n]
记V=[σ21 σ22 ... σ2n]，称V为随机向量X=(X1,X2,...,Xn)’的协方差矩阵
[ ... ... ... ... ]
[σn1 σn2 ... σnn]

C=(c1,c2,...,cn)’为系数向量

将①式写成矩阵形式为：D(Y)=D(C’*X)=C’*V*C ②
特别当Xi与Xj(i≠j)相互独立时，σij=0
此时，②式变为D(Y)=C’*diag(σ11,σ22,...,σnn)*C=∑{i=1,n}ci²*σii