已知函数f(x)=ax+lnx，其中a为常数，e为自然对数的底数.(Ⅰ)当a=-...

Question

已知函数f(x)=ax+lnx，其中a为常数，e为自然对数的底数. (Ⅰ)当a=-1时，求f(x)的最大值; (Ⅱ)若在区间(0，e)上的最大值为-3，求a的值; (Ⅲ)当a=1时，判断方程|f(x)|=lnxx+12是否有实根?若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数.

Answer 1

解答:解:(Ⅰ)当a=-1时，f(x)=-x+lnx，
∴f′(x)=-1+
1
x
=
1-x
x
当0＜x＜1时，f'(x)＞0;
当x＞1时.f'(x)＜0，
∴x=1是f(x)在定义域(0，+∞)上唯一的极(大)值点，
则f(x)max=f(1)=-1.
(Ⅱ)∵f′(x)=a+
1
x
，
令f'(x)=0得x=-
1
a
＞0，
①当-
1
a
≥e，即a≥-
1
e
时，f'(x)≥0，
从而f(x)在(0，e]上单调递增，
∴f(x)max=f(e)=ae+1≥0舍;
②当0＜-
1
a
＜e，即a＜-
1
e
时，
f(x)在(0，-
1
a
)上递增，在(-
1
a
，e)上递减，
∴f(x)max=f(-
1
a
)=-1+ln(-
1
a
)，
令-1+ln(-
1
a
)=-3，得a=-e2.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知当a=-1时，
f(x)max=f(1)=-1，
∴|f(x)|≥1，
又令φ(x)=
lnx
x
+
1
2
，
∴φ′(x)=
1-lnx
x2
，
∴φ(x)≤φ(e)=
1
e
+
1
2
＜1，
∴方程无解.