已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数，设e为自然对数的底数

Question

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数，（1）当a=-1时，求f（x）的最大值。（2）若f（x）在区间（0，e】上的最大值为-3，求a的值。（3）当a=-1时，试推断方程|f（x）|=lnx/2+1/2是否有实数解。

Answer 1

（1）当a=-1时,f（x）=-x+lnx
f'(x）=-1+1/x
令f'(x）>0,1/x>1,0<x<1
令f'(x）<0,1/x<1,x>1
所以当x=1时，f（x）取得最大值f(1)=-1
(2)f（x）=ax+lnx
f'(x）=a+1/x
令f'(x）>0,1/x>-a,令f'(x）<0,1/x<-a
当a<-1/e(0<-1/a<e)时，f'(x）>0,0<x<-1/a,f'(x）<0,x>-1/a
f（x）在区间（0，e】上的最大值为f(-1/a)=-3,-1+ln(-1/a)=-3,a=-e²(符合题意）
当-1/e≤a<0(-1/a>e)时，f'(x）>0,0<x<-1/a,f'(x）<0,x>-1/a
f（x）在区间（0，e】上单增，最大值为f(e)=-3,ae+lne=-3,ae=-4,a=-4/e(不符合题意，舍去)
当a≥0时，a+1/x>0,f'(x）>0,
f（x）在区间（0，e】上单增，最大值为f(e)=-3,ae+lne=-3,ae=-4,a=-4/e(不符合题意，舍去)
总之，a=-e²
（3）当a=-1时,
|f（x）|=lnx/2+1/2
|-1+1/x|=lnx/2+1/2
当0<x<1时，-1+1/x=lnx/2+1/2,设g(x)=lnx/2-1/x+3/2,g'(x)=1/x+1/x²=(x+1)/x²>0
所以，函数g(x)在区间(0,1）内单增，而g(1)=-ln2-1+3/2=1/2-ln2<0,
所以，g(x)在区间(0,1）内恒小于0，方程|f（x）|=lnx/2+1/2在区间(0,1）内没有实数解
当x≥1时，1-1/x=lnx/2+1/2，设g(x)=lnx/2+1/x-1/2,g'(x)=1/x-1/x²=(x-1)/x²≥0
所以，函数g(x)在区间(1,正无穷）内单增，而g(1)=-ln2+1-1/2=1/2-ln2<0,
g(2e)=1+1/2e-1/2=1/2+1/2e>0,g(1)*g(2e)<0
所以方程|f（x）|=lnx/2+1/2在区间(1,2e）有实数解

Answer 2

1、此时f(x)=－x＋lnx，则f'(x)=－1＋(1/x)=(1－x)/(x)，则f(x)在(0，1)上递增，则(1，＋∞)上递减，则最大值是f(1)=－1
2、f'(x)=a＋(1/x)=(ax＋1)/(x)
①－(1/e)≤a<0，则：f(x)在(0，e)上递增，则f(x)最大值是f(e)=－3，得：a=－4/e，不符，此时无解；
②若a<－1/e，则f(x)在(0，－1/a)上递增，在(－1/a，e)上递减，则f(x)的最大值是f(－1/a)=－3，得：a=－4/e²，符合。
从而，a=－4/e²
3、当a=－1时，f(x)=－x＋lnx，则方程|f(x)|=ln(x/2)＋(1/2)就是：x－lnx=ln(x/2)＋(1/2)即：
【题目中的lnx/2是ln(x/2)还是(lnx)/2？？】

Answer 3

http://wenku.baidu.com/view/5b7b6b19a76e58fafab0038e.html
第一题就是