已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值(2)若关于x的不等式f(x)>1有解，

Question

求实数a的取值范围（3）若函数f(x)在区间（0,2）上是单调函数，求实数a的取值范围

Answer 1

1、
f'(x)=a+1/x
f'(1)=a+1=0
得：a=-1

2、
f(x)>1有解，只需f(x)的最大值大于1即可
f(x)的定义域为x>0
f‘(x)=a+1/x=(ax+1)/x
（1）a≧0时，f'(x)>0，则f(x)在定义域上是增函数，显然满足题意；
（2）a<0时，0<x<-1/a时，f'(x)>0；x>-1/a时，f'(x)<0；
所以，f(x)在(0,-1/a)上递增，在(-1/a,+∞)上递减；
所以，当x=-1/a时，f(x)有最大值，f(-1/a)=-1+ln(-1/a)
-1+ln(-1/a)>1
ln(-1/a)>2
-1/a>e²
a>-1/e²
所以，-1/e²<a<0
综上，实数a的取值范围是：a>-1/e²

3、
f(x)在区间（0,2）上是单调函数，即：在区间(0,2)上，f'(x)恒大于0或恒小于0；
由2知：a≧0时，满足题意；
a<0时，要满足题意，则：-1/a≧2，得：0>a≧-1/2
综上，实数a的取值范围是：a≧-1/2

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