排列组合问题，有点难，求详解

Question

现有4位教师，每位教师带了2名自己的学生参加数学竞赛。8名学生完成考试后由这4位教师进行交叉阅卷，每位教师阅2份卷，每位教师均不能阅自己学生的试卷，且不能阅来自同一位教师的2名学生的试卷，问阅卷方式有多少种不同选择？答案：144

Answer 1

记n个元素中取出k个元素的组合数为C(n,k)，设按顺序先后给A,B,C,D四位老师分配试卷，试卷的分配可以认为先选老师，再选学生．

首先，A老师只能选择B,C,D三位老师中的两位老师，有C(3,2)种组合
然后，分别选择两位老师中的一位学生，都是C(2,1)种组合
由乘法原理，A老师的总的分配方案有C(3,2)*C(2,1)*C(2,1)=12种

考虑到对称性，假设A老师选择了C,D老师，此时挑选B老师进行第二轮分配
而B老师有两种选择，一种是不选A老师；另一种是选择A老师．

1．若B老师不选A老师，老师的选法为C(2,2)种（选C，D老师），学生的选法都为C(1,1)种，C,D老师的学生分配完毕．剩下的C,D老师只能选择A,B老师．
对于C老师，只能选择A,B老师，老师的选法为C(2,2)种，学生的选法都为C(2,1)种
对于D老师，只能选择A,B老师，老师的选法为C(2,2)种，学生的选法都为C(1,1)种
综合，B,C,D老师总的分配方案有
[C(2,2)*C(1,1)*C(1,1)]*[C(2,2)*C(2,1)*C(2,1)]*[C(2,2)*C(1,1)*C(1,1)]=4种

2．若B老师选择A老师，老师的选法为C(2,1)种（在C,D老师中选出一位），A老师学生的选法为C(2,1)种，另一位老师（不妨记为D老师）学生的选法为C(1,1)种，D老师的学生分配完毕．剩下的C老师只能选择A,B老师．
对于C老师，只能选择A,B老师，老师的选法为C(2,2)种，A老师学生的选法为C(1,1)种，B老师学生的选法为C(2,1)种，A老师的学生分配完毕．
对于D老师，只能选择B,C老师，老师的选法为C(2,2)种，学生的选法都为C(1,1)种．
综合，B,C,D老师总的分配方案有
[C(2,1)*C(2,1)*C(1,1)]*[C(2,2)*C(1,1)*C(2,1)]*[C(2,2)*C(1,1)*C(1,1)]=8种

由乘法原理与加法原理，A,B,C,D四位老师总的分配方案有12*(4+8)=144种

追问

考虑到”对称性“，”对称性“是什么？

追答

A老师可以选择B,C,D三位老师中的任意两位老师，而不一定是C,D老师．