已知三角形三内角A B C 依次为等差数列 则sinA^2+ sinC^2的取值范围

Answer 1

三角形内三内角的关系为：A+B+C=π

由已知三内角A，B，C依次为等差数列得A+C=2B

可得B=π/3

而sinA^2+
sinC^2=[1-cos(2A)]/2+[1-cos(2C)]/2=1-[cos(2A)+cos(2C)]/2

且cos2A+cos2C=2cos(A+C)cos(A-C)=2cos(2B)cos(A-C)=-cos(A-C)

所以sinA^2+
sinC^2=1+[cos(A-C)]/2

根据A+C=2B=2π/3，可得C=2π/3-A代入上式

sinA^2+
sinC^2=1+[cos(2A-2π/3)]/2

又由A+C=2B=2π/3，C>0，可知A的取值范围为(0，2π/3)

所以2A-2π/3的取值范围为(-2π/3，2π/3)

cos(2A-2π/3)的取值范围为(-1/2,1]

从而得sinA^2+
sinC^2的取值范围为(3/4,3/2]

Answer 2

有两种情况，
1.A=B=C=60°
2.A=105°,B=60°,C=15°
解法，首先A,B,C成等差数列，所以A+B+C=3B=180°,即B=60°，A+C=120°

第一种情况
sinA^2+sinC^2=2(sin60)^2=2*(3/4)=3/2

第二种情况
sinA^2+sinC^2=sin105^2+sin15^2=sin75^2+cos75^2=1

Answer 3

三角形三内角A
B
C
依次为等差数列
则∠B=60°

所以
1-1/2*（cos2A+cos2C)

=1-1/2*2*cos(A+C)cos(A-C）

=1+1/2*cos（A-C)
因为绝对值（A-C）∈[0，120）

所以sinA^2+
sinC^2∈(3/4,3/2]