已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2) 2 +x 2 =64相内切(1)求动圆C的圆心的轨迹方程；(2)设直线 l :

Question

已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2) 2 +x 2 =64相内切(1)求动圆C的圆心的轨迹方程；(2)设直线 l : y=kx+m(其中k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线 交于不同两点E ，F，问是否存在直线 l ，使得向量 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）圆M：(x－2)2+x2=64，圆心M的坐标为(2，0)，半径R="8.      " ∵|AM|=4<R，∴点A(－2，0)在 圆M内， 设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得r= |CA| ，且|CM|=R－r， 即|CM+|CA|=8>|AM|，                             ……3分 ∴圆心CD的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为 (a>b>0)，则a=4，c=2， ∴b2=a2－c2=12， ∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为 .…5分 (2)由 消去y 化简整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2－48=0， 设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1+x2= . △1=(8km)2－4(3+4k2) (4m2－48)>0.       ①           ……7分 由 消去y 化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12=0， 设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x 3+x4= . △2=(－2km)2+4(3－4k2) (m2+12)>0.       ②          ……9分 ∵ ，∴ (x4－x2 )+ (x3－x1) =0，即x1+x2= x3+x4， ∴ ，∴2km=0或 ， 解得k=0或m=0，                                  ……12分 当k=0时，由①、②得 ， ∵m∈Z，∴m的值为－3，－2，－1，0，1，2，3； 当m=0时，由①、②得 ，∵k∈Z，∴k=－1，0，1. ∴满足条件的直线共有9条.                         ……14分

略