已知为XYZ正实数，且X^2+Y^2+Z^2=2，则T=√5·XY+YZ的最大值是

Question

我的做法是：直线√5·x+z-t/y=0与圆X^2+Z^2=2-Y^2有公共点，但没做出来，希望有谁可以帮忙分析一下，谢谢！

Answer 1

解：这是一个多元函数的条件极值问题，可以用拉格朗日乘数法求解。设F(x,y,z)=√5·xy+yz+λ(x^2+y^2+z^2-2)，对每个变量求导，令其等于0，有Fx=√5y+2λx=0①，Fy=√5x+z+2λy=0②，Fz=Y+2λz=0③，Fλ=x^2+y^2+z^2-2=0④，联解方程组，将①③代入②得：5z+z-4λ^2z=z（6-4λ^2）=0。【∵若z=0，则y=x=0同时成立，与题设条件不符，故舍去】∴λ=±√(3/2)。①.x+②.y+③.z=√5yx+2λx^2+√5xy+zy+2λy^2+yz+2λz^2=2(√5xy+yz)+2λ(x^2+y^2+z^2)=2T+2λ=0，∴T=-λ。∵xyz为正实数，∴T的最大值为√(3/2)。供参考啊。
【另外，可以将z=√（2-x^2-y^2）代入T,转化成二元函数求极值也可。】

追问

正确答案是√6. 拉格朗日乘数法没看懂。 两个比较通俗的解法是：1.直线√5·x+z-t/y=0与圆X^2+Z^2=2-Y^2有公共点，即圆心（0,0）到直线的距离≤√(2-y^2)
2.将公式变型得：2=x^2+5/6Y^2+1/6y^2+z^2≥2√(X^2×5/6Y^2)+2√(1/6Y^2×Z^2) 得√6≥√5·xy+yz 不过还是谢谢你

追答

不好意思，原来提供给你的解答中，在“①.x+②.y+③.z=√5yx+2λx^2+√5xy+zy+2λy^2+yz+2λz^2=2(√5xy+yz)+2λ(x^2+y^2+z^2)=2T+2λ=0”时有错。应该是2T+4λ=0，∴T=-2λ。∵xyz为正实数，∴T的最大值为2√(3/2)=√6。供参考吧。
方法2是条件许可下的简洁解法。供参考啊。

Answer 2

解：这是多元函数条件极值问题，由拉格朗日乘数法
设F(x,y,z)=√5·XY+YZ+k(X^2+Y^2+Z^2-2)
求偏导数
F'x=√5·Y+2kX=0
F'y=√5·X+Z+2kY=0
F'z=Y+2kZ=0
F'k=X^2+Y^2+Z^2-2=0

且已知X>0,Y>0,Z>0
解方程组得极大值点：

X =√30/6, Y = 1, Z =√6/6, k =-√6/2

T=√5·XY+YZ的最大值
Tmax=√5·√30/6*1+1*√6/6=√6