关于排列组合的应用

Question

在做题时，根据题意来，什么时候用排列？什么时候用组合？说的具体点，通俗点吧。先谢谢啦！！！
定义我知道也理解，我想知道如何应用

Answer 1

最简单的解释就是：排列和取出的顺序有关，而组合与顺序无关。举几个例子来说吧。

比如有四个人：张三、李四、王五、赵六，从中抓两个人出来，就是四个人选两个人，和顺序无关；但是如果说先后抓出两个人来，那先抓李四再抓张三和先抓张三再抓李四就是两种不同的方法，而在组合里抓出张三李四只是一种方法。

再比如：有1、2、3、4、5五个数，从中选出三个组成一个三位数，有多少种三位数。如果单纯取出三个数，那没有什么区别，一把抓出1、2、3，这就是一种方法，但是如果要把他们三个排成一个三位数，那么123和321显然不是一个三位数，这就是和顺序有关系。

总之，你看到题了可以这么想：先把他取出来，然后看看先取和后取有没有不同，如果有就用排列，没有就是组合。

不知道你所说的应用是什么意思，是为了做题呢还是为了在现实生活中。

如果说数学上有什么应用的话：

比如：求(1+x)^n中特定项的系数，比如求x^4的系数，就可以用Cn3来求出。

再比如：杨辉三角中，第n+1行的数从左到右依次是Cn0，Cn1，Cn2，……Cnn。

生活中也有很多，不知道这些算不算你所说的应用。

Answer 2

捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体，（比如：原来3个元素，整体考虑之后看成1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑。这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。
插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。
插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比分组数目少1的隔板插入到元素中的一种解题策略。题目特点：“若干相同元素分组”、“
每组至少一个元素”。
例1（08-57）一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？
A.20
B.12
C.6
D.4
分两种情况考虑
1、
这两个新节目挨着，那么三个节目有4个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有2×C41=8种
2、
这两个节目不挨着，那么三个节目有4个空，这就相当于考虑两个数在4个位置的排列，由P42=4×3=12种
综上得，共8+12=20种
此题中使用了捆绑法和插空法。
例2：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（
）种站法。
A.120
B.72
C.48
D.24
选B
插空法
我们来这样考虑，因A、B两人不站一起，故可考虑的位置C、D、E，C、D、E三个人站在那有一共留出4个空，将A、B分别放入这4个空的不同的空中，那就是4个空中取2个空的全排列，即P42=12。这样考虑了之后，还有一点就是C、D、E三个人也存在一个排列问题，即P33=6，综上，共有6*12=72种
例3：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（
）种站法。
A.120
B.72
C.48
D.24
选C
捆绑法
此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，A、B两人既然必须站在一起，那么索性我们就把他们看成一个人，那么我们就要考虑其和C、D、E共4个人的全排列，即P44=24，又因为A、B两人虽然是站在一起了，但还要考虑一个谁在前谁在后的问题，这有两种情况，也就是P22=2，综上，共有48种。
例4：将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？
A.
20
B.21
C.23
D.24
选B
插隔板法
解决这道题只需将8个球分成三组，然后依次将每一个组分别放到一个盒子中即可。8个球分成3个组可以这样，用2个隔板插到这8个球中，这样就分成了3个组。这时我们考虑的问题就转化成了我们在8个球的空隙中放2个隔板有多少种放法的问题。8个球有7个空隙，7个空隙要放2个隔板，就有C72种放法，即21种.
例5：有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完，有多少种吃法？
A.
20
B.36
C.45
D.56
选D
插隔板法
原理同上，只需用3个隔板放到9颗糖形成的8个空隙中，即可分成4天要吃的。就有C83种。C83=56种。