【解析图片】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意实数x，均有x-1≤f（x）≤

Question

【解析图片】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意实数x，均有x-1≤f（x）≤x2-3x+3恒成立．（1）求f（x）的表达式；（2）若关于x的不等式f（x）≤nx-1的解集非空，求实数n的取值的集合A．（3）若关于x的方程f（x）=nx-1的两根为x1，x2，试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≤|x1-x2|对任意n∈A及t∈[-3，3]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由x-1=x²-3x+3可得x=2，
故由题可知1≤f（2）≤1，
从而f（2）=1．
因此

a?b+c＝0 4a+2b+c＝1

，
故b=

1

3

-a，c=

1

3

-2a．由x-1≤f（x）
得ax²-（

2

3

+a）x+

4

3

-2a≥0对x∈R恒成立，
故△=（

2

3

+a）²-4a（

4

3

-2a）≤0，
即9a²-4a+

4

9

≤0，
解得a=

2

9

，
故f（x）=

2

9

x²+

x

9

-

1

9

（2）由

2

9

x²+

x

9

-

1

9

≤nx-1
得2x²+（1-9n）x+8≤0，
故△=（1-9n）²-64≥0，
解得n≤-

7

9

或n≥1，从而A=（-∞，-]

7

9

∪[1，+∞）
（3）显然|x₁-x₂|≥0，当且仅当n=-

7

9

或n=1时取得等号，
故m²+tm+1≤0对t∈[-3，3]恒成立．记g（t）=m?t+（m²+1），
则有

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