设二维随机变量（x，y）服从x^2+y^2<=R^2上的均匀分布，求点（x，y）到圆心的距离的数学期望

Question

设二维随机变量（x，y）服从x^2+y^2<=R^2上的均匀分布，求点（x，y）到圆心的距离的数学期望，想要详细解答，好好急的说，

Answer 1

应该是R/2吧
可以这样想：
一条线段，端点为(0,0)和(R,0)，这条线段上所有点到原点的距离的期望，是R/2.(每一个点都能在线段上找到一个关于(R/2,0)对称的点，即这一对点到原点的平均距离为R/2,所有点都是这样的)
紧接着，把这条线段复制无限次，旋转排布，变成圆。
结论依然同上，期望是R/2

追问

是2R/3

Answer 2

(x,y)与圆心距离为：d=√(x²+y²)
E(d)=1/(πR²)∫∫ √(x²+y²) dxdy
极坐标
=1/(πR²)∫∫ r² drdθ
=1/(πR²)∫[0→2π]dθ∫[0→R] r² dr
=(2/R²)(1/3)r³ |[0→R]
=(2/3R³)/R²
=2R/3

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮。

Answer 3

解法如下：
根据题意：概率密度f(x,y)=1/πR^2 -R< x<R, -R< y<R,
f(x,)=0 其他

点（x，y）到圆心的距离：
L=√x^2+y^2
E(L)=∫(-∞,+∞)√x^2+y^2f(x,y)dxdy
=∫∫(-∞,+∞)√x^2+y^2f(x,y)dxdy
=∫∫(-∞,+∞)√x^2+y^2f(x,y)dxdy 转化为极坐标积分:r==√x^2+y^2
=∫(0,2π)dθ∫(0,R)(r^2/πR^2)dr
=2R/3

Answer 4

(x,y)与圆心距离为：d=√(x²+y²)
E(d)=1/(πR²)∫∫ √(x²+y²) dxdy
极坐标
=1/(πR²)∫∫ r² drdθ
=1/(πR²)∫[0→2π]dθ∫[0→R] r² dr
=(2/R²)(1/3)r³ |[0→R]
=(2/3R³)/R²
=2R/3

Answer 5

距离为R，圆心为坐标原点，则服从X^2+Y^2=R^2

追问

然后类，、？？？？