高一数学 函数 问题 急求 在线等

Question

1 当0<x<1时 f(x)=ln(x)/x 比较下列几个的大小 f(x) 、 f(x^2) 、 f^2(x)

2 求证 f(x)=x^x 在 （0，正无穷） 是增函数

Answer 1

1.
因为当0<x<1 时候,lnx<0
所以
f(x) =lnx/x <0
f(x^2)=lnx^2/x^2 =2lnx/x^2=f(x)*2/x <0
f^2(x)=ln^2x/x^2=f(x)*lnx/x >0

而2/x>2 ,f(x^2)<f(x)<f^2(x)

2.
求导:
令y=x^x
则 两边求对数
lny=xlnx
两边求导得到
y'*1/y=x*1/x +1*lnx
y'=y*(1+lnx)=x^x*(1+lnx)
当0<x<1/e 时候,y'< 0, 递减
当x>1/e时候, y'>0,递增

Answer 2

（1） f(x^2)＜ f(x)＜f^2(x)
根据图像知0<x<1时，f(x)＜0，f(x^2)＜0， f^2(x)＞0

只需比较f(x) 与 f(x^2)两者的绝对值
因为0<x<1 所以x^2＜x
根据图像知ln(x^2)的绝对值＞ln(x)的绝对值
所以ln(x^2)/x^2的绝对值＞ln(x)/x的绝对值
即f(x^2)的绝对值＞f(x)的绝对值 又因为f(x)＜0，f(x^2)＜0
所以 f(x^2)＜ f(x) 又因为 f^2(x)＞0
所以 f(x^2)＜ f(x)＜f^2(x)

（2）题目有误