求助，这个题怎么做1/2+1/3+1/4+……+1/2003+1/2004=？

Question

请问有何简便方法，谢谢!

Answer 1

8.18

调和数列 这个。。。

答案是：=ln(2005)+C≈7.6033993397407+0.57722=8.18
（C是欧拉常数≈0.57722）

1/n[1/(1/n)+1/(2/n)+………+1/（1/n)]=积分 1/xdx（区间是0到1）

证明如下：
由于ln(1+1/n)<1/n （n=1，2，3，…）
于是调和级数的前n项部分和满足
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以Sn的极限不存在，调和级数发散。
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做：
lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

Answer 2

这种叫调和级数 数列
是没有简便方法的
一般题目也不会这么直接考 应该还有加什么或者减什么