e^(x)-1与x等价的条件是什么？

Answer 1

e^(x)-1与x在x->0时，是等价无穷小。

变量替换

令：t = e^(x)-1 则： x=ln(1+t) ； x->0 时， t->0

lim(x->0) [e^(x)-1]/x

=lim(t->0) t/ln(1+t)

=lim(t->0) 1/ln[(1+t)^(1/t)]

∵ lim(t->0) (1+t)^(1/t) = e ∴

= 1/lne

= 1

∴ [e^(x)-1] ~ x (x->0)

扩展资料：

无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。

变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用。

所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。

无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢。因此两个无穷小量之间又分为高阶无穷小 ，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

参考资料：百度百科-等价无穷小

Answer 2

对e^x泰勒展开
e^x=1+x+x^2/2！+.....
e^x-1=x+x^2/2+...
当x~0, e^x-1等价于x