高中数学排列组合问题，急求！！

Question

（1）猜想C（0，n)+C(1,n)+C(2,n)+……+C(n-1,n)+C(n,n)的值，并证明
（2）能否利用上一题来求一个集合的子集的个数？
（括号内的数字左边的是上标，右边的下标）

Answer 1

（1）由二项展开式可以得出
（1+1）^n=C（0，n)+C(1,n)+C(2,n)+……+C(n-1,n)+C(n,n)
所以C（0，n)+C(1,n)+C(2,n)+……+C(n-1,n)+C(n,n)=2^n;

（2）一个含N个元素的集合，其子集包含的元素个数可能是0、1、2，……，N
仅含0个元素的子集个数C（0，n)；
仅含1个元素的子集个数C（1，n)；
仅含2个元素的子集个数C（2，n)；
……
含N 个元素的子集个数为C（n，n)；
所以该集合子集个数为2^N个。

Answer 2

1）C（0，n)+C(1,n)+C(2,n)+……+C(n-1,n)+C(n,n)的值为 2的n次方。
证明如下，用二次项定理证明。
2^n = （1+1）^n
=C（0，n)+C(1,n)+C(2,n)+……+C(n-1,n)+C(n,n)。
2）能。如集合{1,2,3,4,5}的子集有2^5 = 32个
实际上就是
C（0，5)+C(1,5)+C(2,5)+C(3,5)+C(4，5)+C(5,5)
=2^5
=32个

Answer 3

(1)=2^n.
用二项式定理证比较简单，（1+1）^n按二项式定理打开正是题中的式子，所以那个式子可表示为2^n.(注，2^n表示2的n次幂)

（2）若一个集合中有n个元素，则子集中元素个数分别是0个，1个，2个……，n-1个，n个。元素个数是2个的子集有C（2，n）个，所以所有子集共有C（0，n)+C(1,n)+C(2,n)+……+C(n-1,n)+C(n,n)个，由（1）可表示为2^n个

Answer 4

展开（1+1）^n 即可

Answer 5

2的n次方，用二项式定理证，(1+1)的n次等于问题中原式