定义域是(0，+∞))的函数f(x)满足f(2x)=2f(x)当x∈(1,2]时，f(x)=2-x,

Question

定义域是(0，+∞))的函数f(x)满足f(2x)=2f(x)当x∈(1,2]时，f(x)=2-x,若函数y=f(x)-k(x-1)有3个零点，则实数k的取值范围是

Answer 1

定义域是(1，+∞))的函数f(x)满足f(2x)=2f(x)。(改题了）
当x∈(1,2]时，f(x)=2-x，
当x∈(2,4]时x/2∈(1,2],f(x)=2f(x/2)=2(2-x/2)=4-x,
同理x∈(2^m,2^(m+1)],m∈N,时x/2^m∈(1,2],f(x)=2^m*f(x/2^m)=2^m*(2-x/2^m)=2^(m+1)-x,
由f(x)-k(x-1)=0,得k=f(x)/(x-1)=[2^(m+1)-x]/(x-1)=[2^(m+1)-1]/(x-1)-1,记为g(x),是减函数，
g[2^(m+1)]=0,g[2^m+0]→[2^(m+1)-2^m]/(2^m-1)=1+1/(2^m-1),
∴当k∈[0,1]时k=g(x)有无穷多个原像，
取m=0,1,2,3得k∈[8/7,4/3)时k=g(x)恰有3个原像。
∴所求k的取值范围是[8/7,4/3).