已知a,b,c是不全相等的整数，求证2(a^3+b^3+c^3)> a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

Question

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Answer 1

1.2(a的三次方＋b的三次方＋c的三次方）-[a的平方(b+c)+b的平方(a+c)+c的平方(a+b)]
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+(a+c)(a^2-ac+c^2)+(b+c)(b^2-bc+c^2)-[ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c) ]
=(a+b)(a^2-2ab+b^2)+(a+c)(a^2-2ac+c^2)+(b+c)(b^2-2bc+c^2)
=(a+b)(a-b)^2+(a+c)(a-c)^2+(b+c)(b-c)^2
a,b,c是不全相等的正数，
所以上式大于0，所以
2(a的三次方＋b的三次方＋c的三次方）大于 a的平方(b+c)+b的平方(a+c)+c的平方(a+b)

2.cx�0�5-bx+a>0
不等式两边同时除以x�0�5
c-b/x+a/x�0�5>0
a(-1/x)�0�5+b(-1/x)+c>0
因为ax�0�5+bx+c<0的解是x<m或x>n
所以ax�0�5+bx+c>0的解是m<x<n
所以对a(-1/x)�0�5+b(-1/x)+c>0，一定满足
m<-1/x<n
-n<1/x<-m
因为m<n<0，所以-m>-n>0
所以-1/m<x<-1/n
所以不等式cx�0�5-bx+a>0的解集是{x|-1/m<x<-1/n}

Answer 2

求证：2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

左边展开：
(a^3+b^3)+(a^3+c^3)+(b^3+c^3)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+(a+c)(a^2-ac+c^2)+(b+c)(b^2-bc+c^2)

右边展开：
(a^2)b+(a^2)c+(b^2)a+(b^2)c+(c^2)a+(c^2)b
=ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)

左边减右边：
=(a+b)(a^2-ab+b^2-ab)+(a+c)(a^2-ac+c^2-ac)+(b+c)(b^2-bc+c^2-bc)
=(a+b)(a-b)^2+(a+c)(a-c)^2+(b+c)(b-c)^2

由于a、b、c不全相等，(a-b)、(a-c)、(b-c)不同时为0，所以左边-右边>0

即左边>右边，得证

Answer 3

a^3+b^3+c
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c