4个不同的求，4个不同的盒子，把球全部放入盒内

Question

恰好有一个盒子不放球，共有几种放法？
从4个球抽出2个放在一盒子内，再从2个球抽出一个放一个盒子内，再拿最后一个球放一个盒子内，C4_2*A4_1*C2_1*A3_1*C1_1*A2_1，我这种思路错在哪里？

Answer 1

错误就在有一部分的可能性重复计算了。

总体思路是对的。4个球，先拿出两个C4_2，再拿出1个C2_1，再拿出1个C1_1。

我们可以先看一个更简单的问题。两个不同的球A和B放入两个不同的盒子甲和乙，要求每个盒子都有球。
按照你的思路，先拿出1个C2_1，放入一个盒子里A2_1，再拿出1个球C1_1，放入一个盒A1_1。
所以按照你的算法，答案是4种。但事实上，只有（A在甲，B在乙）和（B在甲，A在乙）两种情况。具体哪里重复了，看这个简单的例子应该可以明白了。
所以说，涉及到分组问题时，如果有两个或以上的组数目相同，就会有重复的情况出现（因为数目相同的组可以交换）。所以最终计算结果要除以相同组的数量。

比如说，6个人平均分成3组。应该是C6_2 × C4_2 × C2_2 由于数量相同的组有三个，最后答案还要除以3。（可以枚举验证一下）

所以你的问题里面，由于分成的组是2 1 1，有两个组数目相同，所以最后答案应该再除以2。

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