抽象函数求导z=f(x+y,xy)求ε^2z/εxεy

Question

ε也就是求偏导的那个符号。这个题目是求二阶偏导。方法我也懂，对x，y求一阶偏导，一个是f'u+xf'v，另一个是f'u+yf'v。可是我总是不会做二阶的，谁能来帮帮我~分不少，希望能给我最详细的解答，我要的不是答案，我有答案，我想要是对二阶求导的方法哈。另外老师要我们列那个z分u,v。u分x,y。v分x,y那个树状图有什么用？
再加50分…还是不太理解…就用刚刚我的这个例子给我分析下吧…

Answer 1

二阶求导其实和一阶求导是一样的原理。

就是说你可以在求出一阶导数之后继续在结果的基础上进行运算，即f'的导数就是f''，f的导数就是f'，依此继续向下算。要注意，此时你求的是关于谁的二阶导数。即如果是关于y的，那么久把x当做常数，反之亦然。举例说明：你已经求出关于x的一阶导数，那么用所得结果：f'u+xf'v，把x看做常数，y看做未知数，进行下一步求导，就能算出来了……不要忘记复合函数求导的关键，复合在里面的函数也要求导乘出来……

至于那个树状图就是怕你遗漏而画出的直观明了的分析图，用来指明那几个变量之间有函数关系，在求导的时候要遵循复合函数求导法。好比说：z分u，v，而u分x，y。那么求关于x的偏导数时，不光要注意x，还要注意u和z，因为他们都是关于x的函数，换句话说，他们都相当于z（x）和u（x），也要进行求导，而非直接看做常数了事……如果能分出好几层，那么关系错综复杂，有可能搞乱，画出图来就简单明了了，能让你检验出自己遗漏了谁和谁的关系，其实你题做多了之后就不用这个图了，刚学的时候，这个图还是比较有用的哦~

说了这么多……手指都累了，希望你能尽快领悟偏导数的真谛啊！

Answer 2

∂z/∂x=f1’(x+y,xy)* [∂ (x+y)/ ∂x]+ f2’(x+y,xy)* [∂ (xy)/ ∂x]= f1’(x+y,xy)* 1+ f2’(x+y,xy)* y

∂2z/∂x∂y=∂(∂z/∂x)/∂y=∂[f1’(x+y,xy)+ f2’(x+y,xy)* y]/ ∂y=∂[f1’(x+y,xy)]/ ∂y+ ∂[f2’(x+y,xy)* y]/ ∂y
=f11’’(x+y,xy) ∂( x+y)/ ∂y+f12’’ (x+y,xy) ∂( xy)/ ∂y+ { f2’(x+y,xy)+ y*∂[f2’(x+y,xy)]/ ∂y}
= f11''(x+y,xy) ∂( x+y)/ ∂y+f12’’ (x+y,xy) ∂( xy)/ ∂y+ { f2’(x+y,xy)+ y*(f21’’ (x+y,xy)* ∂( x+y)/ ∂y+f22’’ (x+y,xy)* ∂( xy)/ ∂y)
= f11’’(x+y,xy)*1+f12’’ (x+y,xy)*x+ { f2’(x+y,xy)+ y*[f21’’ (x+y,xy)* 1+f22’’ (x+y,xy)* x]}
= f11’’(x+y,xy)+f12’’ (x+y,xy)*x+ f2’(x+y,xy)+ y*f21’’ (x+y,xy)+f22’’(x+y,xy)* xy

写的很详细了，看看再多做几个题就ok了