焦点弦的性质应用

Answer 1

圆锥曲线方程。圆锥曲线焦点弦的性质及其应用性质。
⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B两点，记q=a^2/c-c，是焦准距，
e是离心率。
⑵过双曲线(a>0,b>0)焦点F的直线交双曲线于A、B两点，记p=c-a^2/c，是焦准距。若A、B两点在双曲线的同一支上，此时称AB为双曲线的同支焦点弦。若A、B两点分别位于双曲线的左支和右支上，此时称AB为双曲线的异支焦点弦。（抛物线的类似性质，本文从略）
（只证性质⑴,性质⑵的证明从略）由对称性，不妨取F为右焦点。设右准线l与x轴交于点D，过A作AG⊥l于G，过B作BH⊥l于点H，则AG∥FD∥BH；且由椭圆的第二定义知，|AG|=
，|BH|=
。令|FE|=m,|ED|=n，则m+n=|FD|=
。故由
，
=
可得：。∴
。因此，m+n=
?
。∴
，从而
就是焦准距。证毕。
[说明]①在上述证明过程中出现的“m
=
n”，
“即|FE|=|ED|”，亦即
E为线段FD的中点（如图1）
这是椭圆焦点弦的另一条性质。双曲线与抛物线也有这一性质。
②如图1，若设∠AFD=
，并分别过A、F作FD和BH的垂线，则可证：
从而得焦点弦长公式：|AB|=
=
就是焦准距
。在双曲线与抛物线中也有这样的公式，如：在双曲线
(a>0,b>0)中，若焦点弦AB的倾斜角为
，则
，
；从而焦点弦长
为焦准距，
是离心率，
且
。③如图1，若分别连接AD和BD，利用说明①的结论，则易证：∠ADF=∠BDF，即x轴平分∠ADB。在双曲线与抛物线中也有这样的结论。
例1
（07年全国(Ⅰ)高考（理）题)已知椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P。
(Ⅰ)设P点的坐标为（x0，y0），证明：
；
(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值。
分析：(Ⅰ)略。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，AC⊥BD的垂足P在椭圆的内部，因此，（画草图）四边形ABCD的面积S=
。
设直线AC的倾斜角为
，则由本文性质的说明②可得：|AC|=
；而AC⊥BD，∴|BD|=
。从而S=
。
由均值不等式可得：
≤
。
∴S≥
，当且仅当
=45°或135°时取等号——问题获解。