已知f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0),若x<=f(x)<=(x^2+1)/2在x属于R上恒成立,且f(-1)=1

Answer 1

x<=ax^2+bx+c
ax^2+(b-1)x+c>=0恒成立
则开口向上且判别式小于等于0
a>0,(b-1)^2-4ac<=0
ax^2+bx+c<=(x^2+1)/2
(2a-1)x^2+2bx+(2c-1)<=0恒成立
若2a-1不等于0，则是抛物线
所以开口向下且判别式小于等于0
所以2a-1<0,a<1/2,
4b^2-4(2a-1)(2c-1)<=0
b^2<=(2a-1)(2c-1)
x<=ax^2+bx+c<=(x^2+1)/2
当x=1时，x=(x^2+1)/2=1
要恒成立
则必须x=ax^2+bx+c=(x^2+1)/2
即x=1,f(x)=1
f(1)=a+b+c=1
f(-1)=a-b+c=1
相加，2a+2c=2，a+c=1
相减2b=0,b=0
所以由(b-1)^2-4ac<=0和b^2<=(2a-1)(2c-1)
有1-4ac<=0,0<=(2a-1)(2c-1)
又由a>0和a<1/2得0<a<1/2
所以2a-1<0,0<=(2a-1)(2c-1)
所以2c-1<=0
c<=1/2
若c<=0,0<a<1/2,则4ac<=0,1-4ac>=1,和1-4ac<=0矛盾
若0<c<=1/2,则0<ac<1/4,0<4ac<1,-1<-4ac<0,所以0<1-4ac<1,和1-4ac<=0矛盾
以上建立在a不等于1/2基础上，引出矛盾
若a=1/2，b=0
则由(2a-1)x^2+2bx+(2c-1)<=0恒成立
2c-1<=0恒成立
c<=1/2
又由(b-1)^2-4ac<0
1-2c<=0
c>=1/2
同时成立
所以c=1/2
所以f(x)=(1/2)x^2+1/2