求不定积分：（那个不定积分的符号不会打，用T代替） Tx^2*（1+x^2)^1/2dx； T(sinx)^2/(cosx)^3dx

Question

求不定积分：（那个不定积分的符号不会打，用T代替）
Tx^2*（1+x^2)^1/2dx；
T(sinx)^2/(cosx)^3dx

Answer 1

问题一：令X=tgt，则dx=sec²tdt
∫x²(1+x²)^½dx=∫tg²·sect·sec²tdt
=∫sin²t／cos^5t·dt
=∫(1-cos²t)/cos^5t·dt
=∫1／cos^5t·dt－∫1／cos³t·dt
=1／(5-1)sint／cos^4t+(5-2)/(5-1)∫1／cos³t·dt－∫1／cos³t·dt
=1/4sint/cos^4t-1/4∫1／cos³t·dt
=1/4sint/cos^4t-1/4{1/2sint/cos²t+1/2∫1/cost·dt}
=1/4sint/cos^4t－1/8sint/cos²t－1/8ln(sect+tgt)+C
由x=tgt,得：sint=x／（1+x）^½ cost=1/（1+x）^½ sect=（1+x）^½
故：∫x²(1+x²)^½dx=1/4sint/cos^4t－1/8sint/cos²t－1/8ln(sect+tgt)+C
=x/8(2x²+1)(x²+1)^½-1/8ln[x+(x²+1)^½]+C

问题二：∫sin²/cos³x·dx=∫(1-cos²x)/cos³x·dx
=∫1／cos³x·dx－∫1/cosx·dx
=1/2sinx/cos²x+1/2∫1/cosx·dx－ ∫1/cosx·dx
= 1/2sinx/cos²x－1/2∫1/cosx·dx
= 1/2sinx/cos²x－1/2ln(secx+tgx)+C

注：解决这些问题，我们运用到一个公式，
即：∫1/cos^nx·dx=1/(n-1)sinx/cos^(n-1)x+(n-2)/(n-1)∫1/cos^(n-2)x·dx
这个公式的证明可以运用分部积分法结合回溯求积分法来证明。
证明就略去吧。
还有，楼上的回答算什么呀，莫名其妙。

Answer 2

不定积分计算的是原函数（得出的结果是一个式子） 定积分计算的是具体的数值（得出的借给是一个具体的数字） 不定积分是微分的逆运算 而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减 积分 积分，时一个积累起来的分数，现在网上，有很多的积分活动。象各种电子邮箱，qq等。 在微积分中 积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。 一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。