计算不定积分(x^2)/(1+x^2)^2dx

Question

求解，不要用x^2=tant来做。用分部积分法或是其他的方法

Answer 1

设 x=tant，dx=(sect)^2dt

t=arctanx，1+x^2=(sect)^2，cost=1/√（1+x^2)

sint=x/√（1+x^2)

sin2t=2sintcost=2x/(1+x^2)

原式=∫(tant)^2(sect)^2dt/*(sect)^4

=∫(sint)^2*(cost)^2dt/(cost)^2

=∫（sint)^2dt

=(1/2)∫（1-cos2t)dt

=t/2-(1/4)sin2t+C

=(1/2)arctanx-x/[2(1+x^2)]+C

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a，b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)，即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

参考资料来源：百度百科——不定积分

Answer 2

∫(x+1)^2/(x^2+1)^2dx=arctanx-1/(x^2+1)+C。C为积分常数。

解答过程如下：

∫(x+1)^2/(x^2+1)^2dx

=∫（x^2+1+2x）/(x^2+1)^2dx

=∫1/(x^2+1)dx+∫1/(x^2+1)^2d（x^2+1）

=arctanx-1/(x^2+1)+C

扩展资料：

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

Answer 3

∫x^2/(1+x^2)^2 dx
=-(1/2)∫xd(1/(1+x^2))
=-(1/2)[x/(1+x^2)] + (1/2)∫ dx/(1+x^2)
=-(1/2)[x/(1+x^2)] + (1/2)arctanx + C

Answer 4