设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|（1）解不等式f（x）＞2；（2）若关于x的不等式a＞f（x）有解，求实数a的取值

Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|（1）解不等式f（x）＞2；（2）若关于x的不等式a＞f（x）有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）令y=|2x+1|-|x-4|，
则y＝

?x?5，x≤? 1 2 3x?3，? 1 2 ＜x＜4 x+5，x≥4

，
作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象，它与直线y=2的交点为（-7，2）和 (

5

3

，2)，
所以|2x+1|-|x-4|＞2的解集为（-∞，-7）∪（

5

3

，+∞）．

（2）由图可知f（x）_min为直线y=3x-3与y=-x-5交点的纵坐标，由

y＝3x?3 y＝?x?5

解得y=-

9

2

，
∴f（x）_min=-

9

2

．
∴要使a＞f（x）有解，则a＞-

9

2

．
∴所求的实数a的取值范围为（-

9

2

，+∞）．