三角形ABC中，a,b,c分别是三边，O是三角形内一点，a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=0向量，证明O是内心

Answer 1

用[AB]表示向量AB，c表示AB的长，下同.
[OA]=[OB]+[BA],∵a[OA]+b[OB]+c[OC]=0,∴[OA]={-b[OB]-c[OC]}/a=[OB]+[BA],∴(a+b)[OB]+c[OC]+a[BA]=0,(a+b){[OC]+[BC]}+[OC]+a[BA]=0,(a+b+c)[OC]+(a+b)[BC]+a[BA]=0,
(a+b+c)[OC]-a[AC]+b[CB]=0,
[OC]={a[AC]-b[CB]}/(a+b+c),
[OC]*[AC]={ab^2-b[CB]*[[AC]}/(a+b+c)=ab^2(1+cos∠C)/(a+b+c),∴cos∠OCA=ab(1+cos∠C)/{|OC|(a+b+c)},
同理得[OC]*[BC]=ba^2(1+cos∠C)/(a+b+c),
∴cos∠OCB=ab(1+cos∠C)/{|OC|(a+b+c)},
∴cos∠OCA=cos∠OCB,∴OC平分∠C,同理可证其他两式,
∴O为内心.
还有一种解法如下（抄来的）：
记∠BAC的平分线与BC交于P，则[BP]=（c/（b+c））[BC]
=（c/（b+c））{[OC]-[OB]}，[AP]=[AB]+[BP]=[OB]-[OA]=[BP]
=[OB]-[OA]+（c/（b+c））{[OC]-[OB]}=（b/（b+c））[OB]+（c/（b+c））[OC]-[OA]=（b[OB]+c[OC]）/（b+c）-[OA]
=-（a+b+c）[OA]/（b+c），∴[AP]与[OA]共线，O在AP上，
同理，O在∠ABC，∠ACB平分线上，∴O为内心。 （这种解法也不是最简，原题是2004南昌高一竟赛的6分小题）