计数专题：编号为1-m的小球放入编号为1-m的盒子里，盒子中小球编号与盒子编号都不相同，有多少种放法？

Question

可以给出详细计算过程吗？

Answer 1

错位重排是指一种比较难理解的复杂数学模型，是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称伯努利-欧拉装错信封问题。

表述为：编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法？

对这类问题有个固定的递推公式，记n封信的错位重排数为Dn，则D1=0，D2=1，

Dn=（n-1）（Dn-2+Dn-1） 此处n-2、n-1为下标。（n>2）

我们只需记住Dn的前几项：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44。我们只需要记住结论，进行计算就可以。

通项公式证明：

已经D1=0，D2=1，Dn=（n-1）（Dn-2+Dn-1），求Dn。

Dn = (n-1)Dn-1 + (n-1)Dn-2

Dn-nDn-1 = -[Dn-1 - (n-1)Dn-2]=(-1)^2*[Dn-2 - (n-2)Dn-3]=...(-1)^(n-2)*(D2-2D1)

设Dn-nDn-1=Cn

Cn=(-1)^(n-2)*1=(-1)^n

则 Dn = (-1)^n + nDn-1

两边同除(-1)^n

设Dn/(-1)^n=Bn

Bn = 1 - nBn

两边同除n!

设Bn/n!=An

An+An-1=1/n!..................(1)

An-1+An-2=1/(n-1)!.........(2)

............

A2+A1=1/2!......................(n-1)

A1+D1=0..........................(n)

(1)-(2)+(3)..............(n)得

根据问主所述，将n换成m，带入公式即可得到结论。