四个编号1,2,3,4的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子里

Question

1.恰两个空盒几种
2.每个盒放一个球有且只有一个球的编号与盒子编号相同
3.把4个球换成4个相同的小球,若恰好有一个空盒子有几种

Answer 1

解：
一:
分步:
1.从四个盒子中任选两个空盒 有C(4,2)=4*3/2=6种
2.剩下了4个球和2个盒子 就有两种分法
(1)两个盒子都有2个球从4球中任选2个 有C(4,2) 然后余下的2个球选出2个 有C(2,2) 由于此过程中出现了均分问题 所以要除以2！ 故分法有C(4,2)C(2,2)/2*1=3 然后再分配到两个盒子里 故要乘以A(2,2) 由此可知 共有3*2=6种
(2)一个盒子有3个球 一个盒子有1个球 先从4个球中任选3个 有C(4,3) 然后在分配 乘以A(2,2) 故有C(4,3)*A(2,2)=8种
综上所述 由分步计数原理得 共有6*(6+8)=84种
二:
先从4种选出1种球和盒子的编号相同的 有C(4,1) 然后剩下了3个盒子3个球 让其中的1个球选择 由于编号不能相同 所以只有从2个不同编号的盒子选出1个 有C(2,1) 剩下的2个球2个盒子就只有1种排法了
故综上 共有C(4,1)*C(2,1)=8种
三：
从4个盒子里选出1个作为空盒 有C(4,1)
然后剩下了4个相同的球和3个不同的盒子 (采用隔板法) 要将4个球分成3部分 就要2个隔板 4个球形成了3个空隙 那么就将这两个隔板插入这三个空隙中 有C(3,2)
综上 故有C(4,1)*C(3,2)=4*3=12种

Answer 2

恰两个空盒6种