已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于AB两点，N为弦AB中点，又函数

Question

fx=asinx+3bcosx图像的一条对称轴方程是X=π/6，O为坐标原点 求椭圆C离心率和直线ON斜率

Answer 1

?E

l的斜率为1，说明倾斜角为45度，根据直角三角形关系可得c=1

又离心率e=c/a=√3/3,则a=√3,b=√2

2.

F(c,0),于是直线L1（k=1时)：x-y-c=0

O到L1的距离：√2/2=c/√2,c=1

e=√3/3=c/a,a=√3,b=√2

∴椭圆为：x^2/3+y^2/2=1

把坐标平面看做复平面：向量OA、OB、OP对应复数Z1、Z2、Z3；对应点A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x3,y3)

于是：向量OP=向量OA+向量OB等价于Z3=Z1+Z2等价于x3=x1+x2,y3=y1+y2

设直线L为：x=ty+1(当然也可以设为y=k(x-1))代入椭圆方程有：

(2t^2+3)y^2+4ty-4=0,

y3=y1+y2=-4t/(2t^2+3)

x3=x1+x2=t(y1+y2)+2=2-4t^2/(2t^2+3)=6/(2t^2+3)

P在椭圆上代入解得：t=±√42/2

∴L为:2x±√42y-2=0.

Answer 2

椭圆方程是：x^2/2+y^2/1=1。具体步骤如下：
令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1^2/a^2+y1^2/b^2=1 （1） x2^2/a^2+y2^2/b^2=1 （2） x1+y1-1=0 x2+y2-1=0 （3）
（y1+y2)/2=(x1+x2)/4 (4)
(1)-(2)得：。。。代入（3）（4）得:1/a^2-1/2b^2=0......(5)
椭圆右焦点（根号下a^2-b^2,0）关于直线的对称点为（0，-根号下a^2-b^2），代入单位圆X^2+Y^2=1得：a^2-b^2=1....(6)
(5)(6)联合得：a^2=2,b^2=1

Answer 3

e为　根号6/2