x^4+4*x^2-3*x+4因式分解

Answer 1

高次多项式的因式分解往往没有通法。

以此题为例，通过尝试一些简单的数会发现它们都不是这个多项式的根，因此可以大胆假设这个多项式没有一次因子，那么它是两个二次多项式的乘积，由此可以用待定系数法。
设x^4+4x^2-3x+4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
右边展开得
x^4+4x^2-3x+4=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
即
a+c=0
ac+b+d=4
ad+bc=-3
bd=4
这个方程组依然不好解。继续大胆假设b,d是整数。若b=d=2，代入方程组显然无解。若b=1，d=4，代入方程组得
a+c=0
ac=-1
4a+c=-3
恰好解得a=-1，c=1。
因此x^4+4x^2-3x+4=(x^2-x+1)(x^2+x+2)。

Answer 2

x^3=-1(x≠-1)代入原式=4(x^2-x+1)
设M为原式除以(x^3+1)所得的整式，那么
x^4+4*x^2-3*x+4
=M(x^3+1)+4(x^2-x+1)
=M(x+1)(x^2-x+1)+4(x^2-x+1)
这就证明原式含有(x^2-x+1)这个因式
∴原式=(x^4+x)+4(x^2-x+1)
=x(x+1)(x^2-x+1)+4(x^2-x+1)
=(x^2-x+1)(x^2+x+4)