高一数学 三角函数 应用题 计算最大面积 求画图

Question

有一块半径为R，圆心角为45°的扇形铁皮，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四个顶点的？并求出面积的最大值．

Answer 1

矩形ABCD中A,B两点在x轴上 设他们坐标为
A（X1，0） B（X2，0） C（X2，y） D（X1，y）
矩形面积为s=(X2-X1)*y
要想面积最大 D点就在扇形的另一边上 因为圆心角为45度 及X1=y
则s=(X2-X1)*y=(X2-X1)*X1≤（X2-X1+X1）^2/4=X2^2/4 ^2表示平方
所以X2最大 面积最大
所以工人从扇形直边和圆弧交点及B点开始画线 画垂直于直边的线交弧线于点C
过C点做B点所在直边的平行线交另一直边于点D 过D做B所在直边的垂线交点A
所得矩形ABCD即为所求
不方便作图 不懂的可以继续追问

Answer 2

建立坐标系，以扇形铁皮的圆心做原点，扇形的一边置x轴上
矩形ABCD中A,B两点在x轴上 设他们坐标为
A（X1，0） B（X2，0） C（X2，y） D（X1，y）
矩形面积为s=(X2-X1)*y
要想面积最大 D点就在扇形的另一边上C点在弧线上 因为圆心角为45度 及X1=y
则s=(X2-X1)*y=(X2-X1)*X1≤（X2-X1+X1）^2/4=X2^2/4 ^2表示平方
在X2-X1=X1取得最大值 及X1=X2/2 所以C点坐标为（X2，X2/2）
满足园方程x^2+y^2=R^2 X2^2+(X2/2)^2=R^2
X2=√6*R/3
所以最大面积s=（√6*R/3/2)^2=R^2/6
工人可先确定A点 因为他就在直边的中点

Answer 3

以圆心为原点，扇形一边所在直线建立平面直角坐标系，使扇形另一边在y＝x上。设y＝x上的矩形顶点为（m，m），则其他四个顶点的坐标都能表示，矩形的面积也就能表示了，这道题就转化为了求一个表达式的最大值。
注意：0<m<二分之根号二R
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