皮克公式证明的具体过程？急！！！！！！！！！！1

Answer 1

具体做法:
一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点。

如果取一个格点做原点O，如图1，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX和纵坐标轴OY，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系。这时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点。如图1中的O、P、Q、M、N都是格点。由于这个缘故，我们又叫格点为整点。

一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形。有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。

这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。

皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1
即 S=a+ 1/2b -1
(其中a表示多边形内部的点数,b表示多边形边界上的点数,S表示多边形的面积)

Answer 2

因为所有简单多边形都可切割为一个 三角形 和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形 P ，及跟 P 有一条共同边的三角形
T。若 P 符合皮克公式，则只要证明 P 加上 T的PT 亦符合皮克公式（I），与及三角形符合皮克公式（II），就可根据 数学归纳法，对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。
多边形
设P 和 T的共同边上有 c 个格点。
P 的面积： iP + b P /2 - 1
T的面积： iT + b T/2 - 1
PT 的面积：
( iT + iP + c - 2) + ( b T- c + 2 + b P - c ) /2 - 1
= iPT + b PT /2 - 1
三角形
证明分三部分：证明以下的图形符合皮克定理：
1. 所有平行于轴线的矩形；
2. 以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形；
3. 所有三角形（因为它们都可内接于矩形内，将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三
设矩形 R长边短边各有 m , n个格点：
AR = ( m -1)( n-1)
iR = ( m -2)( n-2)
b R = 2(m+n)-4
iR + b R/2 - 1
= ( m -2)( n-2) + (m+n) - 2 - 1
= mn - ( m + n) +1
= ( m -1)( n-1)
直角三角形
易见两条邻边和 对角线 组成的两个直角三角形全等，且 i, b 相等。设其斜边上有 c 个格点。
b = m +n+c -3
i = (( m -2)( n-2) - c + 2)/2
i + b /2 - 1
= ((m -2)( n-2) - c + 2)/2 + ( m +n+c -3)/2 - 1
= ( m -2)( n-2)/2 + ( m +n - 3)/2
= ( m -1)( n-1)/2
一般三角形
逆运用前面对2个多边形的证明： 既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P，T符合皮克公式，则 P加上T的PT亦符合皮克公式。 那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。 于是显然有，只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候，才会使得在直角三角形符合的同时，矩形也符合。