皮克公式证明

Question

皮克公式证明

Answer 1

分析1：皮克定理：
证明

因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形P，及跟P有一条共同边的三角形T。若P符合皮克公式，则只要证明P加上T的PT亦符合皮克公式（I），与及三角形符合皮克公式（II），就可根据数学归纳法，对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。

多边形
设P和T的共同边上有c个格点。

P的面积： iP + bP/2 - 1
T的面积： iT + bT/2 - 1
PT的面积：
(iT + iP + c - 2) + (bT- c + 2 + bP - c + 2 ) /2 - 1
= iPT + bPT/2 - 1
三角形
证明分三部分：证明以下的图形符合皮克定理：

所有平行于轴线的矩形；
以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形；
所有三角形（因为它们都可内接于矩形内，将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形）。
矩形
设矩形R长边短边各有m,n个格点：

AR = (m-1)(n-1)
iR = (m-2)(n-2)
bR = 2(m+n)-4
iR + bR/2 - 1
= (m-2)(n-2) + (m+n) - 2 - 1
= mn - (m + n) +1
= (m-1)(n-1)
直角三角形
易见两条邻边和对角线组成的两个直角三角形全等，且i,b相等。设其斜边上有c个格点。

b = m+n+c-3
i = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2
i + b/2 - 1
= ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 + (m+n+c-3)/2 - 1
= (m-2)(n-2)/2 + (m+n - 3)/2
= (m-1)(n-1)/2
可以算是一道数学题吧。如果知道皮克定理就行了。皮克定理说明了其面积S和内部格点数目a、边上格点数目b的关系：S = a + b/2 - 1。根据三角形面积公式求出S。如果知道了b，那么三角形内部格点数目a也就求出来了。可以证明，一条直线((0,0),(n,m))上的格点数等于n与m的最大公约数+1。即b=gcd(n,m)+1. gcd(n,m)为n与m的最大公约数。代入皮克公式，即可求出a的值

Answer 2

皮克公式b=14,i=39,A=45 具体做法:
一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点。
如果取一个格点做原点O，如图1，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX和纵坐标轴OY，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系。这时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点。如图1中的O、P、Q、M、N都是格点。由于这个缘故，我们又叫格点为整点。
一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形。有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积S和内部格点数目a、边上格点数目b的关系：
S=a+ b/2 - 1。
(其中a表示多边形内部的点数,b表示多边形边界上的点数,S表示多边形的面积)

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/82591447.html