“皮克公式”的证明

Question

kuai

Answer 1

皮克公式b=14,i=39,A=45 具体做法:
一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点。
如果取一个格点做原点O，如图1，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX和纵坐标轴OY，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系。这时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点。如图1中的O、P、Q、M、N都是格点。由于这个缘故，我们又叫格点为整点。
一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形。有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积S和内部格点数目a、边上格点数目b的关系：
S=a+ b/2 - 1。
(其中a表示多边形内部的点数,b表示多边形边界上的点数,S表示多边形的面积)

Answer 2

给你看个很nb的证明：

难以想像，一段小小的证明竟然能比一个瘦小的留着长头发穿黑色短袖T恤紧身牛仔裤边跳边弹吉他的MM还要酷。原来一直以为这个证明已经很酷了，现在显然我已经找到了一个更酷的证明。

Pick定理是说，假设平面上有一个顶点全在格点上的多边形P，那么其面积S(P)应该等于i+b/2-1，其中i为多边形内部所含的格点数，b是多边形边界上的格点数。绝大多数证明都是用割补的办法重新拼拆多边形。这里，我们来看一个另类的证明。

假设整个平面是一个无穷大的铁板；在0时间，每个格点上都有一个单位的热量。经过无穷长时间的传导后，最终这些热量将以单位密度均匀地分布在整个铁板上。下面我们试着求多边形P内的热量。考虑多边形的每一条线段e：它的两个端点均在格点上，因此线段e的中点是整个平面格点的对称中心，因而流经该线段的热量收支平衡（这半边进来了多少那半边就出去了多少），即出入该线段的热量总和实际为0。我们立即看到，P的热量其实完全来自于它自身内部的i个格点（的全部热量），以及边界上的b个格点（各自在某一角度范围内传出的热量）。边界上的b个点形成了一个内角和为(b-2)*180的b边形，从这b个点流入P的热量为(b-2)*180/360 = (b-2)/2 = b/2-1。在再加上i个内部格点，于是S(P)=i+b/2-1。

参考资料：matrix67的blog

Answer 3

维基百科中输入皮克定理有详细过程。