怎么证明皮克公式

Question

北京师范大学出版社出版的七年级下册数学书中有个皮克公式（第四页）：“奥地利数学家皮克（Georg Pick, 1849-1943）发现了一个计算点阵中多边形面积公式：
S=a+1/2b-1
其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积。”——这个怎么证明（写的简单些，要初一学生能懂的）谢谢！！！

Answer 1

我有一个土办法，可以将边界上的点看作是一个个圆，在多边形边上的圆其面积只有一半属于这个多边形，但多边形角上的圆就不一样了，将夹角的任一个边延长，与另一条边的夹角是外角，这角上的圆中外角部分计算面积时多算了，要除去，因多边形的外角和是360度，所以正好是个整圆。

所以面积公式为a+1/2b-1

Answer 2

具体做法:
一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点。

如果取一个格点做原点O，如图1，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX和纵坐标轴OY，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系。这时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点。如图1中的O、P、Q、M、N都是格点。由于这个缘故，我们又叫格点为整点。

一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形。有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。

这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。

皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1
即 S=a+ 1/2b -1
(其中a表示多边形内部的点数,b表示多边形边界上的点数,S表示多边形的面积)

Answer 3

公式证明：
可以将边界上的点看作是一个个圆，在多边形边上的圆其面积只有一半属于这个多边形，但多边形角上的圆就不一样了，将夹角的任一个边延长，与另一条边的夹角是外角，这角上的圆中外角部分计算面积时多算了，要除去，因多边形的外角和是360度，所以正好是个整圆。
所以面积公式为a+1/2*b-1
皮克公式是奥地利数学家皮克发现了一个计算点阵中多边形面积公式：S=a+1/2b-1其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积，可以自己带入一下。
如果a=3，b=10，所以多边形面积S=3+1/2*10-1=7
简介及具体做法：

皮克公式是奥地利数学家皮克发现了一个计算点阵中多边形面积公式。
具体做法：一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点皮克公式，就是所谓格点。b=14,i=39,A=45如果取一个格点做原点O，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX和纵坐标轴OY，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系。这时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点。O、P、Q、M、N都是格点。由于这个缘故，我们又叫格点为整点。
一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形。有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积S和内部格点数目a、边上格点数目b的关系：
S=a+ b/2 - 1。
皮克公式作为考查内容：

奥地利数学家皮克(Georg Pick，1859-1943)发现了一个计算正方形点阵中格点多边形面积的公式：S=1/2x+n-1，其中n表示多边形内部的点数，x表示二多边形边界上的点数．熟悉这个公式的人不多，但是还是被中考命题者挖掘来作为中考命题的内容．用这个公式来求格点多边形面积是非常方便的。