毕克定理怎么证明?

Answer 1

因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形P，及跟P有一条共同边的三角形T。若P符合皮克公式，则只要证明P加上T的PT亦符合皮克公式（I），以及三角形符合皮克公式（II），就可根据数学归纳法，对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。
多边形
设P和T的共同边上有c个格点。
P的面积： iP + bP/2 - 1
T的面积： iT + bT/2 - 1
PT的面积：
(iT + iP + c - 2) + (bT- c + 2 + bP - c) /2 - 1 = iPT + bPT/2 - 1
三角形
证明分三部分：证明以下的图形符合皮克定理：
所有平行于轴线的矩形；
以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形；
所有三角形（因为它们都可内接于矩形内，将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形）。
矩形
设矩形R长边短边各有m,n个格点：
AR = (m-1)(n-1)
iR = (m-2)(n-2)
bR = 2(m+n)-4
iR + bR/2 - 1 = (m-2)(n-2) + (m+n) - 2 - 1 = mn - (m + n) +1 = (m-1)(n-1)
直角三角形
易见两条邻边和对角线组成的两个直角三角形全等，且i,b相等。设其斜边上有c个格点。
b = m+n+c-3
i = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2
i + b/2 - 1 = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 + (m+n+c-3)/2 - 1 = (m-2)(n-2)/2 + (m+n - 3)/2 = (m-1)(n-1)/2
一般三角形
逆运用前面对2个多边形的证明： 既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P，T符合皮克公式，则 P加上T的PT亦符合皮克公式。 那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。 于是显然有，只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候，才会使得在直角三角形符合的同时，矩形也符合。

Answer 2

Sorry, I don't know.