(a^2+b^2)/√ab ≥a+b怎么证明！！

Question

我的疑问是根据基本不等式
a^2+b^2≥2ab,则
(a^2+b^2)/√ab≥2√ab那么
2√ab如何大于a+b呢？？？？不是矛盾了吗？

Answer 1

你的思路是对的
但是利用a^2+b^2≥2ab放宽的太宽了，超出了范围
就像要你证明3>1，但是你利用了3>0的定理
这样不合适
a、b同号，此题要分两步
1、当a<0，b<0
原式左边＞0，原式右边<0
显然原不等式成立
2、当a>0，b>0
原式可以整理得到
a^4+b^4-a^3b-ab^3≥0
因式分解 (a-b)^2(a^2+ab+b^2)≥0
(a-b)^2＞0，a^2+ab+b^2>0成立
所以原不等式成立

追问

为什么说超出了范围。。这个不好想

追答

举个例子a^2+b^2+c^2≥0
显然有a^2+b^2+c^2≥a^2+b^2≥a^2≥0
你直接利用a^2+b^2+c^2≥0
而没有利用到a^2+b^2+c^2≥a^2+b^2

Answer 2

a^2+b^2>√ab(a+b)
令√a=x, √b=y好理解些，这样上式等于
x^4+y^4> xy(x^2+y^2)
x^4-x^3y+y^4-xy^3>0
x^3(x-y)-y^3(x-y)>0
(x-y)(x^3-y^3)>0
(x-y)^2(x^2+xy+y^2)>0 成立，因此等式(a^2+b^2)/√ab ≥a+b也成立，过程你要自己整理

追问

那我的疑问呢？？为什么不能那样想？

追答

7大于5，也大于6，但是5不大于6。如果你要证明7>6那么会把7大于5当条件吗？你那个是解这种题的思路之一，如果发现不能证明就要马上换一个方法。

Answer 3

证明(a^2+b^2)/√ab ≥a+b
就是证明a^2+b^2 ≥a√ab+b√ab
移项a^2-a√ab+b^2-b√ab≥0
a√a(√a-√b)+b√b(√a-√b)≥0
(√a-√b)(a√a-b√b)≥0
若√a>√b，则a√a>b√b，不等式成立
若√a<√b，则a√a<b√b，不等式也成立
以上各步可逆，所以原不等式成立
不是我做的,找来的.