已知椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的左右焦点依次为F1，F2点M(0,2)为椭圆一顶点

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的左右焦点依次为F1，F2点M(0,2)为椭圆一顶点,△F1MF2为等腰直角三角形 (1)求椭圆方程(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆与AB两点，设两直线斜率分别为k1,k2且k1+k2=8求证lAB过定点

Answer 1

椭圆的方程为：x^2/8+y^2/4=1
2.对一般情况有：曲线方程x^2/a^2+y^2/b^2=1，及M(0,b)
设MA,MB的方程分别为：y=mx+b,y=nx+b， m+n为定值（此处=8）
可得A( (-2a^2*bm)/(b^2+a^2*m^2, b(b^2-a^2*m^2)/(b^2+a^2*m^2) )
B( (-2a^2*bn)/(b^2+a^2*n^2, b(b^2-a^2*n^2)/(b^2+a^2*n^2) )
直线AB的斜率（化简后）=b^2(m+n)/(b^2-a^2*m^2)
如果b^2-a^2*mn0,则斜率不存在，AB平行于y轴，
此时mn=b^2/a^2
A的横坐标为-2a^2bm/(b^2+a^m^2)=-2a^2*bmn/(b^2*m+a^m*mn)=......=-2b/(m+n)
直线AB的方程：
y=[b^2(m+n)/(b^2-a^2*mn)][x+2a^2*bm/(b^2+a^2*m^2)]+b(b^2-a^2m^2)/(b^2+a^2*m^2)
当x=-2b/(m+n)时，
y=[b^2(m+n)/(b^2-a^2*mn)][-2b/(m+n)+2a^2*bm/(b^2+a^2*m^2)]+b(b^2-a^2m^2)/(b^2+a^2*m^2)
=.......=-b,
所以经过定点(-2b/(m+n), -b)
对于本题m+n=8,b=2，所以定点为：(-1/2,-2)
中间的过程麻烦你们自己动手计算一下，或发私信。
附记，在这个一般性的题目中，没有要求a，b的大小关系，如果a=b，则是圆的命题。

Answer 2

x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的左右焦点依次为F1，F2点M(0,2)为椭圆一顶点,△F1MF2为等腰直角三角形 (1)求椭圆方程(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆与AB两点，设两直线斜率分别为k1,k2且k1+k2=8