已知函数F(x)=ax²-(a+2)x+lnx。 （1）当a=1时,求曲线y=f(x)的单调区间

Question

（1）当a=1时,求曲线y=f(x)的单调区间
(2)当a>0世，若f（x）在区间[，e]上的最小值为-2，求a的取值范围。

Answer 1

答：
（1）当a=1时，f(x)=x²-3x+lnx，x>0
求导得：f'(x)=2x+1/x-3>=2√[2x*(1/x)]-3=2√2-3
令f'(x)=2x+1/x-3=0，解得：x1=1/2，x2=1
当0<x<=1/2或者x>=1时，f'(x)>=0，f(x)是增函数；1/2<=x<=1时f'(x)<=0，f(x)是减函数。
所以：f(x)的单调增区间是(0,1/2]∪[1,+∞)，单调减区间是[1/2,1]。

（2）此小题的区间不知道是不是[1,e]？
f(1)=a-(a+2)+0=-2
f(e)=ae²-(a+2)e+1>-2
f(x)=ax²-(a+2)x+lnx，求导得：f'(x)=2ax+1/x-(a+2)>=2√(2a)-(a+2)
令f'(x)=2ax+1/x-(a+2)=(2x-1)(ax-1)/x=0
解得：x1=1/2，x2=1/a
如果0<x2=1/a<=1时，f(x)在[1，e]上属于单调增函数，f(x)>=f(1)=-2，满足要求，所以：a>=1；
如果1<x2=1/a<e即1/e<a<1时，在[1,1/a]上f'(x)<0，f(x)是减函数，f(x)<=f(1)=-2，不满足题意；
如果x2=1/a>=e即0<a<=1/e时，f'(x)<=0，f(x)是减函数，f(x)<=f(1)=-2，不满足题意。
综上所述，a>=1时，f(x)在区间[1,e]上的最小值是-2.

Answer 2

(1)当a=1时，f(x)=x²-3x+lnx，
f'(x)=2x-3-1/x (x>0)
令f'(x)≥0，解得x≤1/2，或x≥1
∴f(x)的单调增区间为（0,1/2]和[1，+∞），
单调减区间为（1/2，1）。

第二小问缺区间左端点。

Answer 3

1)a=1时，y=x^2-3x+lnx；y'=2x-3+1/x 因为x>0，所以当y'>0时，x>1和0<x<1/2，此时单调增；同理1/2<x<1时单调减，1和1/2的两个等号随便你放哪边都行
2)y'=2ax-a-2+1/x，y'=0时x=1/2或1/a，然后你能告诉我区间左边那个是几吗……

Answer 4

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